Question

若sin2α=根号5/5 sin(β-α)=根号10/10 且α∈[π/4,π]β∈[π,3/2π],则α+β的值

若sin2α=根号5/5 sin(β-α)=根号10/10 且α∈[π/4,π]β∈[π,3/2π],则α+β的值

Answer 1

∵α∈[π／4，π]
∴2α∈[π／2，2π]
∵sin(2α)=√5/5>0
∴2α∈[π／2，π]..........(1)
==>cos(2α)=-√(1-sin²(2α))=-2√5/5
∵β∈[π，3π／2]，sin(β-α)=√10/10>0
∴β-α∈[π/2，π]..........(2)
==>cos(β-α)=-√(1-sin²(β-α))=-3√10/10
于是，cos(α+β)=cos((β-α)+2α)=cos(β-α)*cos(2α)-sin(β-α)*sin(2α) (和差角公式)
=(-3√10/10)*(-2√5/5)-(√10/10)*(√5/5)=√2/2
∵由(1)和(2)，得 α+β∈[π，2π]
∴α+β=2π-π/4=7π/4。