Question

一道高中椭圆题

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的左右焦点分别为F1，F2，离心率为e，若椭圆上存在点P，使得PF1/PF2=e，则该离心率e的取值范围是多少?

需要详细解题过程

Answer 1

解，假设a>c，由题知1＞PF1/PF2=e≥(a-c)/(a+c)，这时P点位于椭圆的长轴端
即(a-c)/(a+c)≤e＜1，左端上下同除以a并整理得
e^2+2e-1≥0
解得e≥√2－1或e≥－1－√2
故√2－1≥e＜1

Answer 2

设P(m,n) 显然-a≤m≤a
则IPF1I=a+em IPF2I=a-em
PF1/PF2=(a+em)/(a-em)=e
m=a(e-1)/[e(e+1)]
所以-a≤a(e-1)/e(e+1)≤a
解得e≥√2-1
因任意椭圆的e<1
所以1>e≥√2-1

Answer 3

解：
易知，0＜e＜1.又|PF1|/|PF2|=e.
∴0＜|PF1|/|PF2|＜1.
∴0＜|PF1|＜|PF2|.
数形结合可知，点P在椭圆的左半部，由对称性，不妨设点P在第2象限。
∴a＜|PF2|≤a+c.
由椭圆定义可知，|PF1|+|PF2|=2a.结合|PF1|/|PF2|=e.
可得：(1+e) ×|PF2|=2a.
∴|PF2|=2a/(1+e).
∴a＜2a/(1+e) ≤a+c.
∴由该不等式左半部可得：e＜1,
由右半部可得：2/(1+e) ≤1+e.
∴e≥√2-1.
综上有√2-1≤e＜1.

Answer 4

你把准线作出来，然后用三角形直角边小于斜边来算。自己算吧，这么基础的题目。