函数的单调性中同增异减怎么理解
让函数y＝f（u）和u= g（x）复合的函数是y= f[g（x）]。
如果g（x）是[a，b]中的递增函数，f（u）是[g（a），g（b）]中的递增（递减）函数，则复合函数y= f[g（x）]是[a，b]中的递增（递减）函数。
如果g(x)是[a，b]中的递减函数，而f(u)是[g(b)，g(a)]中的递增(递减)函数，则复合函数y=f[g(x)]是[a，b]中的递减(递增)函数。
函数的定义：给定一组数字A，假设元素是x。现在我们将相应的规则f应用到A中的元素X，并将其记录为f(x)，得到另一个集合B。假设B中的元素是y。Y和X之间的等价关系可以用y=f(x)表示。我们称这种关系函数关系或函数。函数的概念包含三个要素：域A、范围C和对应规则f，核心是对应规则F，它是函数关系的本质特征。
扩展资料：
一些函数在整个域内是单调的，一些函数在某些区间内是增量的，而在某些区间内是减的，一些函数是非单调的，如常数函数。
函数单调性是单调区间内函数的“整体”性质。它是任意的，不能被一个特殊的值代替。
当讨论具有导数的函数的单调区间时，必须首先确定函数的定义域。在求解过程中，函数的单调区间只能通过讨论导数的符号来确定。
如果一个函数具有多个具有相同单调性的单调区间，则这些单调区间不能被，而只能被
函数的单调性可以解决许多与函数有关的问题。通过研究函数的单调性，有助于加深对函数的认识和把握，把一些实际问题转化为利用函数的单调性来处理。因此，对函数单调性的讨论具有重要的理论价值和实用价值。本文举例说明了函数单调性的应用，如利用函数的单调性求最大值、解方程、证明小方程等。
参考资料:单调性 百度百科
引理1：已知函数y=f［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.
证明：在区间(a,b)内任取两个数x1,x2，使a＜x1＜x2＜b.
因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以g(x1)＜g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2)即u1＜u2,且u1,u2∈(c,d).
因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以f(u1)＜f(u2),即f［g(x1)］＜f［f(x2)］，
故函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.
引理2：已知函数y=f［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，复合函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.
证明：在区间(a,b)内任取两个数x1,x2，使a＜x1＜x2＜b.
因为函数u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，所以g(x1)＞g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2)即u1＞u2,且u1,u2∈(c,d).
因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u1)＜f(u2),即f［g(x1)］＜f［f(x2)］，故函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.
扩展资料：
若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数y=f[g(x)]的定义域是D={x|x∈A,且g(x)∈B} 综合考虑各部分的x的取值范围，取他们的交集。
求函数的定义域主要应考虑以下几点：
⑴当为整式或奇次根式时，R的值域；
⑵当为偶次根式时，被开方数不小于0（即≥0）；
⑶当为分式时，分母不为0；当分母是偶次根式时，被开方数大于0；
⑷当为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为0（如，中）。
⑸当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合，即求各部分定义域集合的交集。
参考资料：复合函数_百度百科
设由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数为y=f[g(x)].
如果g(x)在[a，b]上是增函数，f(u)在[g(a)，g(b)]上是增（减）函数，那么复合函数y=f[g(x)]在[a，b]上增（减）函数.
如果g(x)在[a，b]上是减函数，f(u)在[g(b)，g(a)]上是增（减）函数，那么复合函数y=f[g(x)]在[a，b]上减（增）函数.
把闭区间换成其他单调区间，比如开区间、半开区间，也有这个结论.
简而言之，外层与内层的单调性若相同，则复合函数是增函数；若相异，则复合函数是减函数. 记忆口诀：“同增异减”
复合函数单调性，这么简单的学习方法，让你快速理解
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