Question

求关于x的实系数方程x^2+ax+b=0与x^2+bx+a=0都有实根的概率

（其中ab都在区间[1,4]上）

Answer 1

这题实际上是一个几何概率，a和b都在[1,4]上随机取值的，那么（a，b）就在[1,4]×[1,4]正方形内随机取值 （ 其中 [1,4]×[1,4]是在以a为纵坐标，b为横坐标的直角坐标系内）
既然要求都有实根，那么a^2-4b≥0 且b^2-4a≥0
在原直角坐标系中划出这两个范围，并与[1,4]×[1,4]取交集，此交集图形中的所有点即满足
x^2+ax+b=0与x^2+bx+a=0都有实根
那么都有实根的概率 =交集图形的面积/[1,4]×[1,4]的面积
我算的是等于（2×8/3)/9=16/27

Answer 2

x^2+ax+b=0, x^2+bx+a=0 有实根
a^2-4b≥0 b^2-4a≥0
a≤-2√b或a≥2√b b≥2√a或 b≤-2√a
a≥2√(2√a)
(a)^3/4≥2√2
a≥√2
同理，b≥√2
P=[(4-√2)/(4-1)]*[(4-√2)/3]=(20-8√2)/9

Answer 3

解：设f(x)=x²+ax+b由函数图象可以知道：f(0)>0,f(1)<0,f(3)>0三者同时成立，求解得
b>0
a+b+1<0
3a+b+9>0
由线性规划的知识画出可行域：
以a为横轴，b纵轴，再以z=2a-b为目标，
当a=-1,b=0时，zmax=-2
当a=-4,b=3时，zmin=-11
由题目，不能取边界，知道z∈（-11,-2）