Question

一个点绕原点旋转一个角度后的坐标 点 A (x0 ,y0)以原点为圆心旋转n度,求旋转后 A' (x1,y1) 坐标值.

x1=x0cosn-y0sinn
y1=x0sinn+y0cosn
怎么得到的这个公式
最好有图！

Answer 1

证：设点（x0,y0）到点（rx0,ry0）的距离为La,点（x,y）到点（rx0,ry0）的距离为Lb

则由图1可得：



2

( x0 - rx0 ) / La = cos（a + b）                    -    ①

( x - rx0 ) / Lb = cos（b）                            -    ②

La = Lb                                                        -    ③

( y0 - ry0 ) / La = sin（a+b）                       -    ④

( y - ry0 ) / Lb = sin（b）                             -    ⑤

当cos（b），cos（a + b）不为零时,由①②③得：

     (x0- rx0)/ (x-rx0) = cos(a+b)/cos(b)

    (x0- rx0)/ (x-rx0) = (cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b))/cos(b)

    (x0- rx0)/ (x-rx0) = cos(a) - sin(a)tan(b)

    (x0- rx0) = (cos(a) - sin(a)tan(b))(x - rx0)

    x0 = (x - rx0)cos(a) - sin(a)tan(b)(x - rx0) + rx0

    x0 = (x - rx0)cos(a) - (y - ry0)sin(a) + rx0                        -    A

当sin（b），sin（a + b）不为零时,由③④⑤得：

    (y0 - ry0)/(y - ry0) = sin(a+b)/sin(b)

    (y0 - ry0)/(y - ry0) = (sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b))/sin(b)

    (y0 - ry0)/(y - ry0) = sin(a)cos(b)/sin(b) + cos(a)

    y0 = (y - ry0)sin(a)cos(b)/sin(b) + (y - ry0)cos(a) + ry0

    y0 = (y - ry0)sin(a)(x - rx0)/(y - ry0) + (y - ry0)cos(a) + ry0

    y0 = (x - rx0)sin(a) + (y - ry0)cos(a) + ry0                        -    B

∴当cos（b），cos（a + b）不为零时A、B式成立

3

 当cos（a+b）= 0时，即x0 = rx0，a+b = π/2+kπ(k>=0的自然数)如图2：



∵cos（a+b）= 0

    cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b) = 0

    tan(a) = 1/tan(b)

    sin(a)/cos(a) = (x - rx0)/(y - ry0)

    (x - rx0)cos(a) = (y - ry0)sin(a)

将x0 = rx0式代入A式也得

    (x - rx0)cos(a) = (y - ry0)sin(a)

∴当cos（a+b）= 0时A式成立。

 

 ∵tan(a) = (x - rx0)/(y - ry0) - ⑥

    La = Lb = y0 - ry0 - ⑦

由⑥得

    (y - ry0)sin(a)/cos(a) = (x - rx0)

   (y - ry0)sin²(a)/cos(a) = (x - rx0)sin(a)

   (y - ry0)(1-cos²(a))/cos(a) = (x - rx0)sin(a)

   (y - ry0)(1/cos(a)-cos(a)) = (x - rx0)sin(a)

   (y - ry0)/cos(a)-(y - ry0)cos(a)) = (x - rx0)sin(a)

 

Answer 2

记原点为O
设ρ=OA=√x0²+y0²
三角换元x0=ρcosθ，y0=ρsinθ
其中cosθ=x0/ρ，sinθ=y0/ρ
逆时针旋转n度后
x=ρcos(θ+n)=ρ(cosθcosn-sinθsinn)=x0cosn-y0sinn
同理y=ρsin(θ+n)=…=x0sinn+y0cosn

追答

其实这是个叫旋转变换的东西…

追问

原来用极坐标啊 终于懂了 谢谢谢谢

追答

也算不上是用极坐标…