Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=8cm，CD=2cm，AD=6cm。点P从A出发，以2cm/s的速度

如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=8cm，CD=2cm，AD=6cm。点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB向终点B运动;点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿CD、DA向终点A运动（P、Q两点中有一个点运动到终点时，所有运动即终止）。设P、Q同时出发并运动了t秒。
（1） 当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时，求t的值；
（2） 试问是否存在这样的t值，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半？若存在，求出这样的t值；若不存在。请说明理由。

Answer 1

解：（1）过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥AB于F，如图1．
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴四边形CDEF是矩形，
∴DE=CF．
又∵AD=BC，
∴Rt△ADE≌Rt△BCF，AE=BF．
又CD=2cm，AB=8cm，
∴EF=CD=2cm，
AE=BF=（8-2）=3（cm）．
若四边形APQD是直角梯形，则四边形DEPQ为矩形．
∵CQ=t，
∴DQ=EP=2-t，
∵AP=AE+EP，
∴2t=3+2-t，
∴t=．

（2）在Rt△ADE中，DE=（cm），
S梯形ABCD=（8+2）×3=15（cm2）．
当S四边形PBCQ=S梯形ABCD时，
①如图2，扮指知若点Q在CD上，即0≤t≤2，
则CQ=t，BP=8-2t．
S四边形PBCQ=（t+8-2t）×3=，
解之得t=3（舍去）．
②如图3，若点Q在AD上，即2＜t≤4．
过点Q作HG⊥AB于G，交逗销CD的延长厅消线于H．
由图1知，AQ=8-t，QG=AQ•sin60°=，
∴∠ADE=30°，
则∠A=60度．在Rt△AQG中，AQ=8-t，QG=AQ•sin60°=，
在Rt△QDH中，∠QDH=60°，DQ=t-2，QH=DQ•sin60°=．
由题意知，S四边形PBCQ=S△APQ+S△CDQ=×2t×+×2×，
即t2-9t+17=0，解之得（不合题意，舍去），．
答：存在，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半．