Question

RT三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BD的延长线与E，求证；BD=2CE。

RT▷ABC中，AB=AC.∠BAC=90°,∠1=∠2，CE⊥BD的延长线于E，BE平分∠B，BE垂直CE，求证；BD =2CE

Answer 1

解法一：由题知
RtΔBAD∽RtΔCED
则∠DCE=∠ABD=45/2
根据正弦定理有
BD/sin45=CD/sin(45/2)=CE/[sin(45/2)cos(45/2)]=2CE/sin(45)
∴BD=2CE

解法二：做DH垂直于BC，得△ABD同△HBD全等
易知A、B、C、E共圆，
∴△ABD同△CED相似
∴△CED同△BHD相似
设AD=1,由条件得CD=√2，AC=√2+1=AB
BC=2+√2,BH=1+√2,BD=√(2√2+4)
CE/BH=CD/BD--->CE/BD=BH*CD/BD²=(√2+1)*√2/(2√2+4)=1/2
得证

看看以上2种做法，供你参考。

Answer 2

解法一：由题知
RtΔBAD∽RtΔCED
则∠DCE=∠ABD=45/2
根据正弦定理有
BD/sin45=CD/sin(45/2)=CE/[sin(45/2)cos(45/2)]=2CE/sin(45)
∴BD=2CE

解法二：做DH垂直于BC，得△ABD同△HBD全等
易知A、B、C、E共圆，
∴△ABD同△CED相似
∴△CED同△BHD相似
设AD=1,由条件得CD=√2，AC=√2+1=AB
BC=2+√2,BH=1+√2,BD=√(2√2+4)
CE/BH=CD/BD--->CE/BD=BH*CD/BD²=(√2+1)*√2/(2√2+4)=1/2
得证