Question

椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0),A1,A2为椭圆C的左右顶点。

（1）设F1为椭圆C左焦点，证明：当且仅当C上的点P在左、右顶点时，|PF1|取得最小值与最大值。
（2）若椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1，直线L：y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点（A、B不是左右顶点），且满足AA2垂直于BA2，求证直线L过顶点，并求出该定点坐标

Answer 1

1
PF1^2=(x+c)^2+y^2=(c^2/a^2)(x+a^2/c)^2 PF1=(c/a)|x-(-a^2/c)|
因为左顶点到准线-a^2/c距离最短为(a^2/c-a),PF1最短为e*(a^2/c-a)=(c/a)(a^2/c-a)=a-c
PF1+PF2=2a,PF1最短时,PF2最长

2
(3-1)=2a,a=1
x^2+y^2/b^2=1
A2(1,0)
y=kx+m
b^2x^2+(kx+m)^2=b^2
(b^2+k^2)x^2+2kxm+m^2-b^2=0
Ax+Bx=-2km/(b^2+k^2)
AxBx=(m^2-b^2)/(b^2+k^2)
(Ax-1)^2+Ay^2+(Bx-1)^2+By^2=(Ax-Bx)^2+(Ay-By)^2
-2Ax-2Bx+2=-2AxBx-2AyBy
AyBy=(kAx+m)(kBx+m)=k^2AxBx+km(Ax+Bx)+m^2

Answer 2

定点是指A，B吗？