Question

E是正方形ABCD的边CD的中点,点F在BC上,∠DAE=∠FAE,求证AF=AD+CF

Answer 1

作EH⊥AF于H
∵∠DAE=∠FAE
∴RtΔADE≌RtΔAHE
∴AH＝AD，EH＝ED=CE(E是边CD的中点)
连结EF
RtΔEFH≌RtΔEFC
∴HF＝CF
∴AF＝AH+HF＝AD+CF

Answer 2

解：已知：ABCD是正方形，点E是边CD的中点，∠DAE=∠FAE

做辅助线EG垂直于AF，点G在AF上，则EG是△AEF的高

因为：△ADE和△AEG，AE=AE，∠DAE=∠FAE，∠AGE=∠ADE=90°

所以：，∠AEG=∠AED，在直角三角形中一边和两角相等，两个三角形全等

所以：△ADE和△AEG全等

所以：AD=AG，DE=EG

点E是CD中点，则DE=EC

所以：DE=EC=EG，

在△EGF和△ECF中EC=EG，EF=EF，∠EGF=∠ECF=90°

在直角三角形中两边相等，那么两个三角形全等。

得到：△EGF和△ECF，所以：GF=CF

AF=AG+GF=AD+CF