Question

数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2an-3n,数列{bn}是等差数列,且b1=a2,b2*b4=a3,b2>0

（1）证明数列{an+3}是等比数列
（2）求数列{an},{bn}的通项公式
（3）求数列{绝对值bn}的前n项和Tn

Answer 1

(1)先取n=1.得S1=a1=2a1-3*1,所以a1=3
又由Sn=2an-3n,得到:
Sn-S(n-1)=an=2an-3n-[2a(n-1)-3*(n-1)]=2an-2a(n-1)-3
an=2a(n-1)+3
an+3=2[a(n-1)+3]
(1)得证
(2)由a1=3得an=2^n*3-3
b1=a2=9
b2*b4=a3=21
b2>0所以b4>0
设等差数列差为D
(9+D)(9+3D)=21
又因为9+D>0,9+3D>0解得D=-2
bn=11-2n
(3)Tn=绝对值bn的前n项
绝对值bn为如下数列:9,7,5,3,1,1,3,5……
所以Tn=10n-n^2(1<=n<=5)
Tn=25+n^2-10n+25=n^2-10n+50(n>=6)

Answer 2

1）an=Sn-Sn-1=2an-2a(n-1)-3，则an=2a(n-1)+3，那么an+3=2[a(n-1)+3]，得证{an+3}是等比数列
2)S1=2a1-3，即a1=2a1-3，a1=3，an+3=（a1+3）*2^(n-1)=6*2^(n-1),an=6*2^(n-1)-3
b1=a2=9,b2*b4=a3=21,(b1+d)(b1+3d)=21,解得d=-10或d=-2，因为b2>0，所以d=-2，bn=11-2n
3）n≤5时，Tn=10n-n²
n>5时，bn<0,Tn=b1+b2+b3+b4+b5+|b6+……+bn|=25+(1+2n-11)(n-5)/2=25+(n-5)²=n²-10n+50

Answer 3

第一
n≥2时,an=Sn-S(n-1)，化简整理
an-2a(n-1)=3
即a(n+1)-2an=3
则[a(n+1)+3]/[an+3]=2为常数
检验，a1+3=6,a2+3=12
所以首项与第二项也满足
所以{an+3}(n∈N+)成等比
所以an=3(2^n-1)

第二。
设{bn}公差为d
b1=a2=9
所以b2×b4=(9+d)(9+3d)=a3=21
解得d=-2或-10
又b2>0，所以取d=-2
所以bn=11-2n

第三。
①当1≤n≤5时,
|bn|=b1+b2+……+bn
则Sn=10n-n^2
②当n≥6时,
|bn|=b1+b2+…+b5-b6-b7-…-bn
=(b1+b2+…+b5)-(b6+b7+…+bn)
=S5-(Sn-S5)
=2S5-Sn
=50-10n+n^2
呃…好了…综上所述……

Answer 4

由Sn=2an-2，则S(n-1)=2a(n-1)-2，
则当n>=2时，有an=Sn-S(n-1)=2an-2a(n-1),也即an=2a(n-1)
又当n=1时，有S1=2a1-2，a1=2，当n=2时，s2=2a2 -2，得a2=4，所以a2/a1=2
则数列{an}为等比数列，公比为2 ，即an=2^n
对于数列{bn}，设公差为d，有b1+b2+b3=3b1+3d=6，则b1+d=2.
又由a1+b1,a2+b2,a3+b4成等比数列，即有4-d，6，10+2d也为等比数列
故有：36=(4-d)(10+2d)，可得到d=-2或1
当d=1时，有bn=n，返回检验知符合题意，
当d=-2时，有bn=6-2n ，返回检验知符合题意。(常数数列也为等比数列)
即得！！！