Question

数学圆的问题

一道题做下：圆满足：截y轴的长度2；x轴分圆的弧长1:3 求满足条件的圆 且圆心距离x-2y=0最小的 圆的方程

Answer 1

设圆：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，由圆截y轴的长度2可知a^2+1=r^2，，显然r>1,即|a|=根号（r^2+1）,|
由x轴分圆的弧长1:3 可知，小弧对的圆心角是直角，说明圆截x轴的长度为r*根号2，即有b^2=r^2/2，b|=r/根号2 。
圆心到直线x-2y=0的距离为d=|a-2b|/根号5，当|a|>2b|时，推出r<1，显然不成立，所以|a|=<|2b|，所以d>=（|2b|-|a|）/根号5，d最小为（|2b|-|a|）/根号5=
[r*根号2-根号（r^2+1）]/根号5=0，即当r=1时，距离d最小，此时圆心为（0,1/根号2）或（0,-1/根号2），所以满足条件的圆为：x^2+(y-1/根号2)^2=1 或x^2+(y+1/根号2)^2=1