Question

排列组合问题：将两个一组的四组蛋排着一列，使同组蛋不相邻，有多少种方法。

如题：假如有8个蛋，两个写着A，两个写着B，两个写着C，两个写着D
现将他们排成一列。能使两个写着同样字母的蛋都相邻的方法有多少种？
我昏，题目是对的，描述错了。
是写着同样字母的蛋都不相邻……

Answer 1

此题是典型的应用容斥原理的习题！楼上的解法都有问题。我算的答案是864. 关键看方法吧~LZ要是觉得我的方法哪里有问题的话，欢迎追问哦:-)

按照题意，相同字母的蛋应该视为完全相同的，这是前提。
记S=所有排法构成的集合（此时不考虑“同组蛋不相邻”的条件）。
P1=AA相邻的排法构成的集合，P2=BB相邻的排法构成的集合，P3, P4同理。
题目要求的就是|S\(P1∪P2∪P3∪P4)|. 这是典型的容斥原理问题的模型，而且各Pi完全对称。
|S|=A(8,8)/(2!)^4. 注意，这里相同字母是不加区分的。
计算|P1|时，把AA绑在一起看成一个蛋，所以|P1|=A(7,7)/(2!)^3.
类似的，|P1∪P2|=A(6,6)/(2!)^2, |P1∪P2∪P3|=A(5,5)/(2!), |P1∪P2∪P3∪P4|=A(4,4).
由容斥原理：
|S\(P1∪P2∪P3∪P4)|
=|S|-C(4,1)|P1|+C(4.2)|P1∪P2|-C(4,3)|P1∪P2∪P3|+C(4,4)|P1∪P2∪P3∪P4|
=A(8,8)/(2!)^4-4*A(7,7)/(2!)^3+6*A(6,6)/(2!)^2-4*A(5,5)/(2!)+A(4,4)
=3*6!/2-2*5!+4!=4!(45-10+1)=864.

P.S. “欧体初学者”方法的问题在于漏掉了一些情形。比如…ABCBA…在他的方法里被排除了，因为第二步的C(3,2)意味着两个B不能同时排在两个A之间。其他的答案都是理解错题意了。

追问

最关键的就是就是这一步来源不太明白……
|P1∪P2|=A(6,6)/(2!)^2

追答

如果你明白|P1|=A(7,7)/(2!)^3, 应该也能明白|P1∪P2|=A(6,6)/(2!)^2哦~
计算|P1∪P2|时，AA和BB分别绑在一起，C,D 随意。相当于ABCCDD进行排列的排列数，这是有重复元素的排列数，依公式就是A(6,6)/(2!)^2.
如果不知道这个公式也没关系，直接想就行。先按6个不同元素算，排列数应该是A(6,6). 但实际上两个C是一样的，两个D也是一样的，这样同一种排列被重复算了2*2=次.

Answer 2

用插空的方法做，先放一组蛋，后面的每一组分别插空
如果相同字母的蛋相同，则C22*C32*C52*C72=630
如果相同字母的蛋不同，则A22*A32*A52*A72=10080

追问

如果相同字母的蛋相同，则C22*C32*C52*C72=630
插空会不会漏解？例如 在_A_ _ _A_ _下，_A_ _ B A B_ _是允许的，虽然在空位上两个B相邻了。

追答

不会漏的，因为我用的插空是模糊的插空，AA的位置不是完全确定的，包括_A_ _ _A_ _这种情况，知道把最后的DD也排上才能确定AA的具体位置；同理BB的位置也是模糊确定的，包括_A_ _ B A B_ _这种情况。
你考虑一下，这种方法我也是昨天突然想到的，记的高中和大学的时候没见过这种题型。

Answer 3

如果认为写着相同字母的蛋完全相同的话是：A44=4*3*2*1=24
如果写着相同的蛋认为是不相同的话：2^4*A44=16*24=384

Answer 4

A44=24

Answer 5

A44=24种