Question

求函数√x+√13-x+√x+27最大值

求函数√x+√13-x+√x+27最大值答案柯西不等式中√2和√3是怎么得到的，为什么是这两个数

Answer 1

柯西不等式：(ab＋cd＋ef)²
≤(a²＋c²＋e²)(b²＋d²＋f²)，
当且仅当 a/b＝c/d＝e/f 时取等号。
本题中，a²/b²＝c²/d²＝e²/f² 即是
1/(x＋27)＝1/9(13-x)＝1/4x 。
关于系数：要用柯西不等式求最大值，
需满足三个条件：①a²＋c²＋e²为常数，
这个容易做到，它们本来就是常数；
②b²＋d²＋f²为常数，也就是根号里面求和后要能消掉 x；③a²/b²＝c²/d²＝e²/f²。
把三个根号分别凑上系数，然后根据②③的条件，就可以得出1、 √3、√2 了。
具体：√(x＋27) ＝ a√[(x＋27)/a²]，
同理√(13-x)＝b√[(13-x)/b²]，
√x＝c√(x/c²)
所以① 1/a²-1/b²＋1/c²＝0，
②a^4/(x＋27)＝b^4/(13-x)＝c^4/x有解。
前一方程解得x＝(13a^4-27b^4)/(a^4＋b^4)，
后一方程解得x＝13c^4/(b^4＋c^4)，
令其相等，得
③(13a^4-27b^4)/(a^4＋b^4)＝13c^4/(b^4＋c^4)，
取 a＝1，即可由①③解得b＝1/√3，c＝1/√2。(是不是有点麻烦？你把上述过程弄懂了，就掌握柯西不等式的精髓了)