Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD‖BC，AB⊥BC，且AD=DC=4，BC=6，点M从点A开始，以每秒1个单位的速度向点D运动

如图，在直角梯形ABCD中，AD‖BC，AB⊥BC，且AD=DC=4，BC=6，点M从点A开始，以每秒1个单位的速度向点D运动；点N从点C开始，以每秒1个单位的速度向点B运动．若点M、N同时开始运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动；设运动时间为t秒（0＜t≤4），过点M作MQ⊥BC于点Q，交AC于点P．
（1）若△PCN的面积为S，求S与t的函数关系式；
（2）点M在运动过程中，是否存在点M，使PN‖DC？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
（3）点M在运动过程中，当t为何值时，△PNC为直角三角形？ 要有具体步骤 快啊~~~

Answer 1

(1)由题意,可知(过D向BC作垂线)
角DCB=60度,AB=2根号3,又因为AD‖BC,所以
三角形AMP相似与三角形CQP,所以
AM/QC=MP/PQ,AM=t,CQ=6-t,
设PQ=x,PM=2根号3-x,代入AM/QC=MP/PQ,解得
x=(√3/3)*(6-t),
所以△PCN的面积S==(√3/6)*(6-t)t,
(2)PN‖DC,即角PNQ=60度,即PQ/QN=根号3
QN=6-2t,PQ=(√3/3)*(6-t),代入解得
t=12/5
(3)N与Q点重合时，角PNC=90度,
△PNC为直角三角形,
此时BQ=CQ(即CN)=t=6/2=3.
角NPC=90度时,
由射影定理PQ^2=NQ*QC
[(√3/3)*(6-t)]^2=(2t-6)*(6-t),解得t=24/7

Answer 2

(1). 过点D作DO⊥BC交BC于O，
依题意可得CO=1，CD=2，所以DO=√3，即点D到BC的距离为√3;
(2). 当QM‖AB时，∠MBD=∠MQB=∠ADB=30°，∠QMP=60°，
因为DN=BM=QM=T，
所以NQ=DN*tan30°=√3T/3，QP=QM*sin60°=√3T/2，
因为NQ+QP=NP=DO=√3，
所以T=6/5.
(3).当点N在DA上移动时，点P向B移动的速度等于点N向A移动的速度，
因为QP/BP=tan30°=√3/3，
所以QP缩小的速度为√3T/3，即QP=√3-√3T/3，
所以S=（1/2）*BM*QP=（1/2）*T*（√3-√3T/3）=√3T/2-√3T^2/6，（0<T≤2）
当点N在AB上移动时，点P向B移动的速度等于cos60°*1=1/2，
因为QP/BP=tan30°=√3/3，
所以QP缩小的速度为（√3/3）*（1/2）*(T-2)=√3(T-2)/6，
当N在A点时，BP=1，所以QP=√3/3，
所以QP移动时的长度=√3/3-√3(T-2)/6=√3（4-T）/6，
所以S=（1/2）*BM*QP=（1/2）*T*√3（4-T）/6=√3T/3-√3T^2/12，（2<T≤4）

所以S =√3T/2-√3T^2/6，（0<T≤2）
=√3T/3-√3T^2/12，（2≤T≤4)
(4).T=3/2，或T=12/7

Answer 3

(1) 过D做BC的垂线DH交BC于H。
直角三角形中DC=4，HC=BC-AD=2，
可得角DCB为60度，且AB=DH=MQ=2*（根号3）
于是梯形中角ADC为120度。
因此等腰三角形ADC中角DAC为30度。

由题意知AM=t=NC，
于是MP=t/(根号3)，
进一步得PQ=2*(根号3) - t/(根号3)。
于是三角形PNC的面积是 S = 1/2*PQ*NC = t*根号3 - 根号3*(t^2)/6。0<t<=4

(2) 存在，以下解出t：
当PN平行DC时，角PNC为120度，
又因为角ACN为30度，
得出三角形PNC是等腰三角形，且和三角形ADC相似。
于是有两三角形面积比=（NC/AD）^2
三角形ADC面积=AD*AB/2=4*（根号3）
列方程：【t*根号3-（t^2)*(根号3)/6】/(4*根号3)=(t/4)^2
因为t>0
解得 t=12/5

（3）当PNC为直角三角形时
PN=PQ=2*(根号3) - t/(根号3)=QC/根号3=t/根号3
解得 t=根号3

Answer 4

1. QM=1
2. (1)t=1 (2)t=5/3
3. 2根号2/3