Question

如图，在平行四边形ABCD中，角BAD，角ABC，角BCD，角CDA的平分线分别交于点F，G，H，E

求证：四边形EFGH是矩形

Answer 1

你可以这样：过点E作EG‖BF ∴∠ABF=∠AGE
∵四边形ABCD为平行四边形 ∴∠BAD+∠ADC=180°，∠CBA+∠BDA=180°
∵AE、DE、BF为角平分线 ∴ADE+EAD=90°,∠BAE+∠ABF=90°
∴∠BAE+∠AGE=90°
∴∠DEA=∠AEG=90° ∴∠AEG+∠DEA=180°
∴D、E、G三点共线 并且AE为三角形ADG的垂线
又∵AE为三角形ADG的角平分线 ∴三角形ADG为等腰三角形 AD=AG=BC
同理 延长BF交CD于点H后，三角形BCH为等腰三角形 BC=CH CH为垂直平分线
∴EG=DE=DG／2 BF=FH=BH/2
很容易可以证明三角形ADG与三角形BCH相似 DG=BH
∴BF=EG
又BF‖EG ∴四边形BFEG为平行四边形
∴BG=EF
∴EF=BG=AB-AG=AB-BC

Answer 2

证明：
∠BAD，∠ABC平分线交于F
∠AFB＋∠BFA＝1/2（∠ABC＋∠BAD）＝90
同理可证：其他三个角也是直角，故四边形EFGH是矩形