Question

在数列{an}中，a1=1,a2=2.a(n+1)=an+2a(n-1).求an的通项公式

过程要详细，合理

Answer 1

a(n+1)=an+2a(n-1)
a(n+1)+an=2[an+a(n-1)]
所以数列{a(n+1)+an}是等比数列，首项是1+2=3,公比是2
那么a(n+1)+an=3*2^(n-1)
令an=c2^(n-1)
则c2^n+c2^(n-1)=3*2^(n-1)
c=1
即an=2^(n-1)
字数限制，不能多写

Answer 2

a(n+1)+an=2an+2a(n-1)=2[an+a(n-1)],
a1+a2=3,[a(n+1)+an]/[an+a(n-1)]=2,a(n+1)+an=3×2^(n-1),
a(n+1)/(-1)^(n+1)-an/(-1)^n=3×(-2)^(n-1)累加，an/(-1)^n-a1/(-1)=3[1-(-2)^(n-1)]/3=1-(-2)^(n-1),an=2^(n-1)

Answer 3

由a(n+1)=an+2a(n-1)可知，两边若同减2an，则可得递推式
a(n+1)-2a(n)=-a(n)+2a(n-1)=-[a(n)-2a(n-1)]
但a(2)-2a(1)=2-2=0那么a(3)-2a(2)=0
所以，a(n+1)-2a(n)=0 a(n+1)/a(n)=2
由a(1)=1得知，a(n)=2^(n-1)

Answer 4

用数学归纳法更快，你自己试下