Question

f（x）连续，且lim（x→0）f（x）-1/x^2=-2，则？

希望有过程哦，谢谢！

Answer 1

具体回答如下：

因为分母x²趋于0，而极限存在。

所以分子也趋于0。

即lim(x→0)f(x)-1=0

lim(x→0)f(x)=1

因为f(x)连续，所以f(0)=lim(x→0)f(x)=1。

极限的性质：

和实数运算的相容性，譬如：如果两个数列{xn} ，{yn} 都收敛，那么数列{xn+yn}也收敛，而且它的极限等于{xn} 的极限和{yn} 的极限的和。

与子列的关系，数列{xn} 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限；数列{xn} 收敛的充要条件是：数列{xn} 的任何非平凡子列都收敛。

Answer 2

先观察题目： f(x)=lim(n→∞) x^2*[1/(1+x^2)+1/(1+x^2)^2+……+1/(1+x^2)^n] 这是一个关于x的函数，对于后面的极限，x被看作常数 而利用等比数列求和公式： x^2*[1/(1+x^2)+1/(1+x^2)^2+……+1/(1+x^2)^n] =x^2*[1/(1+x^2)]*[1-[1/(1+x^2)]^n] / [1-[1/(1+x^2)]] =x^2*[1/(1+x^2)]*[1-1/(1+x^2)^n] / x^2/(1+x^2) =1 - 1/(1+x^2)^n 因此， f(x) =lim(n→∞) x^2*[1/(1+x^2)+1/(1+x^2)^2+……+1/(1+x^2)^n] =lim(n→∞) 1 - 1/(1+x^2)^n ={1，x≠0 {0，x=0 那么，明显当x≠0时，f(x)恒为1，明显是连续的当x=0时，f(x)=0≠1=lim(x→0) f(x)，根据定义，明显不连续故原命题成立~~~ 有不懂欢迎追问