Question

f(x)在[a,b]可导,f'(a)=f'(b)=0 求证：存在ξ∈(a,b) f(ξ)-f(a)=f'(ξ)(ξ-a)

Answer 1

取g(x)=
(f(x)-f(a))/(x-a)
(当x≠a时)
0
(x=a)
则g在[a,b]连续，(a,b]可导,
g'(b)=-(f(b)-f(a))/(b-a)²,
g(b)=(f(b)-f(a))/(b-a)
g满足拉格朗日中值定理条件，故存在ζ，g'(ζ)=(g(b)-(g(a))/(b-a))=(f(b)-f(a))/(b-a)²
=
-g'(b)
由导函数的介值定理，存在ξ，使g’(ξ)=0,所以f(ξ)-f(a)=f'(ξ)(ξ-a)

Answer 2

证明：1）因为在闭区间[a,b]上连续（其中a不等于b）；（2）在开区间(a,b)内可导；（3）在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，
所以由罗尔定理可得:区间(a,b)内至少存在一点ξ(a<ξ<b)，使得
f'(ξ)=0.