Question

(-1)^n/(2n+1)的无穷交错级数求和

Answer 1

幂级数
∑(-1)^n/(2n+1)·x^(2n+1)
的收敛域为[-1，1]
根据和函数的性质，
s(x)=∑(-1)^n/(2n+1)·x^(2n+1)
在[-1，1]上连续，（-1，1）内可导
（-1，1）内，易得：
s'(x)=1/(1+x^2)
积分得到，s(x)=arctanx，
因为1在幂级数的收敛域内，
所以，x=1时，s(x)=arctanx也是成立的。

Answer 2

直接在arctanx的Maclaurin展开当中代x=1即可
楼上的做法也是对的，只不过需要引进虚数及Euler公式了

Answer 3

这个级数条件收敛。先用交错级数的莱布尼兹定理说明它收敛，再有比较判别法的极限形式说明加绝对值后的级数是发散的。