Question

证明f(x)=1 x/根号下x在（0,1]上是减函数，在[1,正无穷大)是增函数

Answer 1

f(X)=1/√X+√X
可以模仿勾函数单调性的证明
可以设X1
X2≥1
且X1＞X2
f(X1)-f(X2)=1/√X1-1/√X2+√X1-√X2=√X1-√X2+(√X2-√X1)/√(X1X2)=
(√X1-√X2)(1-1/√(X1X2))
当X1＞X2≥1
√X1-√X2＞0
X1X2
＞1
1/√(X1X2)<1
所以f(X1)-f(X2)=(√X1-√X2)(1-1/√(X1X2))
＞0
所以得证

Answer 2

证明:首先设x1>x2≥0,则
F(x1)-F(x2)=√(x1^2+1)-ax1-√(x^2+1)+ax2
=(x1^2-x2^2)/[√(x1^2+1)+√(x2^2+1)]-a(x1-x2)
=(x1-x2)[(x1+x2)/(√(x1^2+1)+√(x2^2+1))-a]<0
又因为x1>x2≥0,即x1-x2>0,
所以(x1+x2)/(√(x1^2+1)+√(x2^2+1))-a<0
x1+x2<a(√(x1^2+1)+√(x2^2+1))
a>(x1+x2)/(√(x1^2+1)+√(x2^2+1))
因为(√(x1^2+1)+√(x2^2+1))>x1+x2>0
所以0<(x1+x2)/(√(x1^2+1)+√(x2^2+1)<1
即当a≥1时,a>(x1+x2)/[√(x1^2+1)+√(x2^2+1)]
此时f（x）在[0,＋∞)上是减函数