在平面直角坐标系中,已知点A(4,0),点B(0,3).
在平面直角坐标系中,已知点A(4,0),点B(0,3).点P从点A出发,以每秒1个单位的速度向右平移,点Q从点B出发,以每秒2个单位的速度向右平移,又P、Q两点同时出发....
在平面直角坐标系中,已知点A(4,0),点B(0,3).点P从点A出发,以每秒1个单位的速度向右平移,点Q从点B出发,以每秒2个单位的速度向右平移,又P、Q两点同时出发.
(1)连接AQ,当△ABQ是直角三角形时,求点Q的坐标;
(2)当P、Q运动到某个位置时,如果沿着直线AQ翻折,点P恰好落在线段AB上,求这时∠AQP的度数;
(3)过点A作AC⊥AB,AC交射线PQ于点C,连接BC,D是BC的中点.在点P、Q的运动过程中,是否存在某时刻,使得以A、C、Q、D为顶点的四边形是平行四边形,若存在,试求出这时AP的值;若不存在,试说明理由. 展开
(1)连接AQ,当△ABQ是直角三角形时,求点Q的坐标;
(2)当P、Q运动到某个位置时,如果沿着直线AQ翻折,点P恰好落在线段AB上,求这时∠AQP的度数;
(3)过点A作AC⊥AB,AC交射线PQ于点C,连接BC,D是BC的中点.在点P、Q的运动过程中,是否存在某时刻,使得以A、C、Q、D为顶点的四边形是平行四边形,若存在,试求出这时AP的值;若不存在,试说明理由. 展开
4个回答
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解:(1)根据题意,可得:A(4,0)、B(0,3),AB=5.
ⅰ)当∠BAQ=90°时,△AOB∽△BAQ,
∴$\frac{BQ}{AB}=\frac{AB}{AO}$.解得$BQ=\frac{25}{4}$;
ⅱ)当∠BQA=90°时,BQ=OA=4,
∴Q$({\frac{25}{4},3})$或Q(4,3).(4分)
(2)令点P翻折后落在线段AB上的点E处,
则∠EAQ=∠PAQ,∠EQA=∠PQA,AE=AP,QE=QP;
又BQ∥OP,
∴∠PAQ=∠BQA,∴∠EAQ=∠BQA,
即AB=QB=5.
∴$AP=\frac{1}{2}BQ=\frac{5}{2}$,
∴$AE=AP=\frac{5}{2}=\frac{1}{2}AB$,即点E是AB的中点.
过点E作EF⊥BQ,垂足为点E,过点Q作QH⊥OP,垂足为点H,
则$EF=\frac{3}{2}$,$PH=\frac{3}{2}$,∴EF=PH.
又EQ=PQ,∠EFQ=∠PHQ=90°,
∴△EQF≌△PHQ,
∴∠EQF=∠PQH,从而∠PQE=90°.
∴∠AQP=∠AQE=45°.(8分)
(3)当点C在线段PQ上时,延长BQ与AC的延长线交于点F,
∵AC⊥AB,
∴△AOB∽△FHA.
∴$\frac{AB}{FA}=\frac{AO}{FH}$即$\frac{5}{FA}=\frac{4}{3}$,
∴$FA=\frac{15}{4}$.
∵DQ∥AC,DQ=AC,且D为BC中点,
∴FC=2DQ=2AC.
∴$AC=\frac{5}{4}$.
在Rt△BAC中,tan∠ABC=$\frac{1}{4}$;
当点C在PQ的延长线上时,记BQ与AC的交点为F,记AD与BQ的交点为G,
∵CQ∥AD,CQ=AD且D为BC中点,
∴AD=CQ=2DG.
∴CQ=2AG=2PQ.
∴FC=2AF.
∴$AC=\frac{45}{4}$.
在Rt△BAC中,tan∠ABC=$\frac{9}{4}$.(12分)
ⅰ)当∠BAQ=90°时,△AOB∽△BAQ,
∴$\frac{BQ}{AB}=\frac{AB}{AO}$.解得$BQ=\frac{25}{4}$;
ⅱ)当∠BQA=90°时,BQ=OA=4,
∴Q$({\frac{25}{4},3})$或Q(4,3).(4分)
(2)令点P翻折后落在线段AB上的点E处,
则∠EAQ=∠PAQ,∠EQA=∠PQA,AE=AP,QE=QP;
又BQ∥OP,
∴∠PAQ=∠BQA,∴∠EAQ=∠BQA,
即AB=QB=5.
∴$AP=\frac{1}{2}BQ=\frac{5}{2}$,
∴$AE=AP=\frac{5}{2}=\frac{1}{2}AB$,即点E是AB的中点.
过点E作EF⊥BQ,垂足为点E,过点Q作QH⊥OP,垂足为点H,
则$EF=\frac{3}{2}$,$PH=\frac{3}{2}$,∴EF=PH.
又EQ=PQ,∠EFQ=∠PHQ=90°,
∴△EQF≌△PHQ,
∴∠EQF=∠PQH,从而∠PQE=90°.
∴∠AQP=∠AQE=45°.(8分)
(3)当点C在线段PQ上时,延长BQ与AC的延长线交于点F,
∵AC⊥AB,
∴△AOB∽△FHA.
∴$\frac{AB}{FA}=\frac{AO}{FH}$即$\frac{5}{FA}=\frac{4}{3}$,
∴$FA=\frac{15}{4}$.
∵DQ∥AC,DQ=AC,且D为BC中点,
∴FC=2DQ=2AC.
∴$AC=\frac{5}{4}$.
在Rt△BAC中,tan∠ABC=$\frac{1}{4}$;
当点C在PQ的延长线上时,记BQ与AC的交点为F,记AD与BQ的交点为G,
∵CQ∥AD,CQ=AD且D为BC中点,
∴AD=CQ=2DG.
∴CQ=2AG=2PQ.
∴FC=2AF.
∴$AC=\frac{45}{4}$.
在Rt△BAC中,tan∠ABC=$\frac{9}{4}$.(12分)
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解:(1)根据题意,可得:A(4,0)、B(0,3),AB=5.
ⅰ)当∠BAQ=90°时,△AOB∽△BAQ,
∴$\frac{BQ}{AB}=\frac{AB}{AO}$.解得$BQ=\frac{25}{4}$;
ⅱ)当∠BQA=90°时,BQ=OA=4,
∴Q$({\frac{25}{4},3})$或Q(4,3).(4分)
(2)令点P翻折后落在线段AB上的点E处,
则∠EAQ=∠PAQ,∠EQA=∠PQA,AE=AP,QE=QP;
又BQ∥OP,
∴∠PAQ=∠BQA,∴∠EAQ=∠BQA,
即AB=QB=5.
∴$AP=\frac{1}{2}BQ=\frac{5}{2}$,
∴$AE=AP=\frac{5}{2}=\frac{1}{2}AB$,即点E是AB的中点.
过点E作EF⊥BQ,垂足为点E,过点Q作QH⊥OP,垂足为点H,
则$EF=\frac{3}{2}$,$PH=\frac{3}{2}$,∴EF=PH.
又EQ=PQ,∠EFQ=∠PHQ=90°,
∴△EQF≌△PHQ,
∴∠EQF=∠PQH,从而∠PQE=90°.
∴∠AQP=∠AQE=45°.(8分)
(3)当点C在线段PQ上时,延长BQ与AC的延长线交于点F,
∵AC⊥AB,
∴△AOB∽△FHA.
∴$\frac{AB}{FA}=\frac{AO}{FH}$即$\frac{5}{FA}=\frac{4}{3}$,
∴$FA=\frac{15}{4}$.
∵DQ∥AC,DQ=AC,且D为BC中点,
∴FC=2DQ=2AC.
∴$AC=\frac{5}{4}$.
在Rt△BAC中,tan∠ABC=$\frac{1}{4}$;
当点C在PQ的延长线上时,记BQ与AC的交点为F,记AD与BQ的交点为G,
∵CQ∥AD,CQ=AD且D为BC中点,
∴AD=CQ=2DG.
∴CQ=2AG=2PQ.
∴FC=2AF.
∴$AC=\frac{45}{4}$.
在Rt△BAC中,tan∠ABC=$\frac{9}{4}$.(12分
ⅰ)当∠BAQ=90°时,△AOB∽△BAQ,
∴$\frac{BQ}{AB}=\frac{AB}{AO}$.解得$BQ=\frac{25}{4}$;
ⅱ)当∠BQA=90°时,BQ=OA=4,
∴Q$({\frac{25}{4},3})$或Q(4,3).(4分)
(2)令点P翻折后落在线段AB上的点E处,
则∠EAQ=∠PAQ,∠EQA=∠PQA,AE=AP,QE=QP;
又BQ∥OP,
∴∠PAQ=∠BQA,∴∠EAQ=∠BQA,
即AB=QB=5.
∴$AP=\frac{1}{2}BQ=\frac{5}{2}$,
∴$AE=AP=\frac{5}{2}=\frac{1}{2}AB$,即点E是AB的中点.
过点E作EF⊥BQ,垂足为点E,过点Q作QH⊥OP,垂足为点H,
则$EF=\frac{3}{2}$,$PH=\frac{3}{2}$,∴EF=PH.
又EQ=PQ,∠EFQ=∠PHQ=90°,
∴△EQF≌△PHQ,
∴∠EQF=∠PQH,从而∠PQE=90°.
∴∠AQP=∠AQE=45°.(8分)
(3)当点C在线段PQ上时,延长BQ与AC的延长线交于点F,
∵AC⊥AB,
∴△AOB∽△FHA.
∴$\frac{AB}{FA}=\frac{AO}{FH}$即$\frac{5}{FA}=\frac{4}{3}$,
∴$FA=\frac{15}{4}$.
∵DQ∥AC,DQ=AC,且D为BC中点,
∴FC=2DQ=2AC.
∴$AC=\frac{5}{4}$.
在Rt△BAC中,tan∠ABC=$\frac{1}{4}$;
当点C在PQ的延长线上时,记BQ与AC的交点为F,记AD与BQ的交点为G,
∵CQ∥AD,CQ=AD且D为BC中点,
∴AD=CQ=2DG.
∴CQ=2AG=2PQ.
∴FC=2AF.
∴$AC=\frac{45}{4}$.
在Rt△BAC中,tan∠ABC=$\frac{9}{4}$.(12分
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第一问中,你就设移动了X秒,用勾股定理列方程解即可
第二问中,先做图,连接好AB后,用图像的对称以及函数知识解决
第三问中,设它存在,然后逆推法即可,否则不存在
第二问中,先做图,连接好AB后,用图像的对称以及函数知识解决
第三问中,设它存在,然后逆推法即可,否则不存在
追问
第三小题具体过程?
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