Question

矩形周长为2,将它绕其一边旋转一周

一道中学数学几何题
矩形周长为2,将它绕其一边旋转一周,所得圆柱体积最大时的矩形面积为()
A 4/27 B 2/3 C2/9 D27/4
要详解

Answer 1

设两边长分别为a 和b ,则a+b=1
V=πa²b=π×a×a×(1-a)
因为，公式abc≤1／3（a+b+c）³
只有当a+b+c为定值时，abc可以去到最大值，
所以，a+a+(1-a)=4+a/2+a/2+(1-a)，此时有定值
所以，要求V=πa²b=π×4×(a/2)×(a/2)×(1-a)
由公式得(a/2)×(a/2)×(1-a)≤1/3[(a/2)+(a/2)+(1-a)]³＝1/3
当且仅当a/2＝a/2＝1-a时成立，(a/2)×(a/2)×(1-a)=1/3（最大值）
所以a＝2/3，b=1/3
S矩形max=ab=2/9

Answer 2

矩形的长宽分别为a、b.
则 a+b=1
且 圆柱体体积V=πa^2×b
那么 V=πa^2×（1-a）
=π（a^2-a^3)
对V求导 并令其等于零 得
π（2a-3a^2)=0
2-3a=0
a=2/3
所以当a=2/3时,圆柱体体积最大
此时矩形的面积（2/3）×（1-2/3）=2/9
选择C 2/9
不过,现在中学学了极限求导了吗?