Question

数学：对称性问题

1）为什么函数y=f(x)关于中心（a,b）对称的函数为2b-y=f(2a-x)?
2）为什么函数y=f(x)关于直线x=m对称的充要条件是f ' (x)关于点(m,0)成中心对称？
3）为什么函数y=f(x)关于点(m,n)成中心对称的充要条件是f ' (x)关于直线x=m对称？
请给详细回答。万分感谢。

Answer 1

1、
如果f(x)关于(a,b)对称
则在a两边等距离x的函数值数值相等，符号相反
即f(a-x)=-f(a+x)
当x=a-t 时
f(t)=-f(2a-t) 参数符号不影响函数，即
f(x)=-f(2a-x)
y轴方向上一样有
b-y=-(b+y)
又y=f(x)
b-y=-[b-f(2a-x)]
2b-y=f(2a-x)
2、
若f(x)关于x=m对称，则有
f(m-x)=f(m+x)
两边求导，得
-f'(m-x)=f'(m+x)
根据定义可知，此时的含义即为f'(x)关于点(m,0)中心对称
3、
和第一问一样，f(x)关于(m,n)中心对称
即x轴方向关于m对称，y轴方向关于n对称,且都负号相反
有
f(m-x)=-f(m+x)
n-y=-(n+y)
分别对上两式对x求导得
f'(m-x)=f'(m+x)
n=0(无意义)
根据定义，可知f'(x)关于x=m对称

追问

为什么f(m-x)求导得 -f'(m-x)？

追答

多元函数的求导问题
对于f(m-x)求导
[f(m-x)]'=f'(m-x)(m-x)'
=-f'(m-x)