Question

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别是AB、DC的中点，E、F分别是BM、CM的中点。

（1）求证：四边形MENF是菱形。
（2）若四边形MENF是正方形，请你探索等腰梯形ABCD的高和底边BC的数量关系。

Answer 1

证明：因为N,E,F分别为BC,BM,CM中点
所以NE,NF都是三角形BCM的中位线
所以NE//CM且NE=1/2CM
又CF=MF
所以NE//MF且NE=MF
所以四边形MENF是平行四边形
同理 四边形BNFE是平行四边形
所以角EBN=角FNC
EB=FN
BN=NC
所以三角形EBN全等于三角形FNC
所以EN=FN
所以平行四边形MENF是菱形
2.连接MN
由上一问可知
BM=MC
又MN是三角形BCM中线
所以MN垂直于BC
因为四边形MENF是正方形
所以角NMF为45度
AB=DC
AM=MD
BM=MC
所以角AMB=角DMC=45度
AD//BC
所以角NCM=角CMD=45度
所以角NCM=角CMN
所以三角形CNM是等腰直角三角形
所以MM=NC
所以MN=1/2BC