Question

初中几何难题（高人来）5

已知：点K在锐角三角形ABC的边BC上，且异于中点，在AK的延长线上任取一点D，直线AB与直线CD交于M，直线AC与直线BD交于N，O是三角形ABC的外心，若OK垂直于MN。 求证：A、B、C、D四点共圆。 【图在上传中请稍等】 【恳请各位高人指教，谢谢！】

Answer 1

用反证法易证出对角互补的四边形的四个顶点共圆
∵弧BD=弧BD
所以角BCD=角BAD
∵弧CD=弧CD
所以∠DBC=∠DAC
因为角DBC+角DCB+角BDC=180°
所以∠BAD+角cad+角BDC=180°
即∠BAC与∠BDC互补
反证法证明
四边形ABCD中，∠A+∠C=180°
四边形ABCD内接于一个圆（A，B，C，D四点共圆）
过A，B，D作圆O，假设C不在圆O上，刚C在圆外或圆内，
若C在圆外，设BC交圆O于C’，连结DC’，根据圆内接四边形的性质得∠A+∠DC’B=180°，
∵∠A+∠C=180°∴∠DC’B=∠C
这与三角形外角定理矛盾，故C不可能在圆外。类似地可证C不可能在圆内。
∴C在圆O上，也即A，B，C，D四点共圆。