Question

如图在梯形ABCD中，AB平行CD，且AB大于CD，G,H分别为BC和AD的中点，交对角线BD,AC于点E,F

如图在梯形ABCD中，AB平行CD，且AB大于CD，G,H分别为BC和AD的中点，交对角线BD,AC于点E,F
求证：EF=1/2(AB-CD)

Answer 1

由题意知：GH是梯形的中位线 所以GH平行于AB、CD
所以三角形BGE与三角形BCD相似，同理三角形AHF与三角形ADC相似
且因为G,H分别为BC和AD的中点
所以GE=FH=1/2CH
因为GH=1/2（AB+CD）
所以EF=GH-GE-FH=1/2AB+1/2CD-CD=1/2AB-1/2CD=1/2(AB-CD)

追问

我们老师说三角形相似不作为证明的定理，只有全等作为证明的定理

追答

那就暂时想不出了

Answer 2

什么东ifn1.等腰梯形，角A=D，AE=ED，AB=CD。
△ABE全等△DCE
2.△ABE全等△DCE，CE=BE,中点,中位线，
菱形
3.EGFH是正方形,∠BEC=90,
△BEC等腰直角，F BC中点
2EF=2BCxvr

Answer 3

在三角形ABD中，EH是其中位线 因此EH=1/2AB 同理，GF在三角形ABC中也是=1/2AB
因此，EH+GF=AB
同上，得出EG+FH=CD
因此，AB-CD=(EH+GF)-(EG+FH)=(EF+FH+GE+EF)-(EG+FH)=2EF
由此推得EF=1/2(AB-CD)

追问

为什么EH是其中位线？点E又不一定是BD边上的中点，你又没证

追答

这。。。 E、H平行于底边AB ，H是AD中点 ，那EH就是三角形ABD中位线

追问

要写出证明过程的，必须证明点E是BD边上的中点，点F是AC边上的中点，再根据中位线定理去证明

追答

只有两个点在斜边上的位置一样时才与底边平行嘛 那么H、G是梯形两条斜边的重点 自然E、F是BD和AC的中点

Answer 4

证明：因为 G，H分别是BC，AD的中点，所以，GH平行于AB，且平行于CD
所以，GE=CD/2，GF=AB/2
所以，EF=GF-GE=(AB-CD)/2。

追问

为什么EH是其中位线？点E又不一定是BD边上的中点，你又没证