Question

已知函数f（x）=x（lnx-ax）有两个极值点x1、x2，（x1＜x2）（Ⅰ）...

已知函数f（x）=x（lnx-ax）有两个极值点x1、x2，（x1＜x2） （Ⅰ）求实数a的取值范围； （Ⅱ）求证：f（x1）＜0，f（x2）＞-12．

Answer 1

解：（1）f（x）=xlnx-ax2（x＞0），f′（x）=lnx+1-2ax．
令g（x）=lnx+1-2ax，
∵函数f（x）=x（lnx-ax）有两个极值点，则g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根．
g′（x）=1x-2a=1-2axx，
当a≤0时，g′（x）＞0，则函数g（x）在区间（0，+∞）单调递增，因此g（x）=0在区间（0，+∞）上不可能有两个实数根，应舍去．
当a＞0时，令g′（x）=0，解得x=12a．
令g′（x）＞0，解得0＜x＜12a，此时函数g（x）单调递增；
令g′（x）＜0，解得x＞12a，此时函数g（x）单调递减．
∴当x=12a时，函数g（x）取得极大值．
当x趋近于0与x趋近于+∞时，g（x）→-∞，
要使g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根，则g（12a）=1ln2a＞0，解得0＜a＜12．
∴实数a的取值范围是（0，12）．
（2）由（1）得0＜x1＜12a＜x2，f′（x1）=lnx1+1-2ax1=0，f′（x2）=lnx2+1-2ax2=0．
且f（x1）=x1（lnx1-ax1）=x1（2ax1-1-ax1）=x1（ax1-1）＜x1（-ax1）=-ax21＜0，
f（x2）=x2（lnx2-ax2）=x2（ax2-1）＞1×（a×12a-1）=-12．