Question

这道复合函数单调性，多少人不会？

已知函数f(x)为R上的偶函数，f(x)在(-∞，0)上单调递减，函数g(x)=3x^3-7x^2+5，若h(x)=f(x-1)，求h(g(x))的单调区间。

Answer 1

原解答有问题。重答如下：

对于满足条件的具体偶函数 f(x) = x^2，其单调性结果也应是本题结果。

f(x) = x^2，g(x) = 3x^3-7x^2+5,   h(x) = f(x-1),

h[g(x)] = f[g(x)-1] = f(3x^3-7x^2+4) = (3x^3-7x^2+4)^2

{h[g(x)]}' = 2(3x^3-7x^2+4)(9x^2-14x) = 2(3x+2)(x-1)(x-2) · x(9x-14)

共有 5 个驻点， 从小到大排列为 -2/3,    0,    1,    14/9,    2.

当 x → -∞， x → +∞ 时， 都有 h[g(x)] → +∞，画 h[g(x)] 草图如下：

得 h[g(x)] 单调减少区间是 (-∞, -2/3),    (0, 1),    (14/9,   2);

 h[g(x)] 单调增加区间是 (-2/3, 0),    (1,  14/9),   (2, +∞).

追问

没考虑过内层函数单调性

追答

f[(3x+2)(x-1)(x-2)] 的自变量变成了 (3x+2)(x-1)(x-2) ，
讨论 (3x+2)(x-1)(x-2) > 0, (3x+2)(x-1)(x-2) < 0 并解之，
就考虑了内层函数的单调性 吧。 不知对吗 ？

追问

你这个相当于算内层函数的零点了

零它等于0就是算它的零点

内层函数g(x)-1＞0也只是算出x轴上面那段，这就是算g(x)-1单调性吗？

做对了

Answer 2

写的详细过程如下，主要是考察复合函数的单调性，这类问题的通用思路是计算中间变量u(x)和u'(x)的零点，列出 f(u)和 u(x）的单调性区间表。最后通过“同增异减”法则得出结论。写了一些时间，望有所帮助，记得采纳点赞哦

追问

u(x)因式分解结果错了。。

另外单调区间不要随意用并集

Answer 3

复合函数的单调性判断，用"同增异减"。
∵f(X)是偶函数，在(-∞，0)上单减，
∴f(X)在(0，+∞)上单增，
∴h(X)=f(X-1)在(-∞，1)上单减，在(1，+∞)上单增，
∵g(X)=3X³-7Ⅹ²+5，
∴g′(X)=9X²-14x，
令g′(X)<0得:0<Ⅹ<14/9，
令g′(X)﹥0得:X<0或X>14/9，
∴函数g(X)在(0，14/9)上单减，在(-∞，0)，(14/9，+∞)上单增，
由复合函数性质得:
h(g(Ⅹ))的单增区间为:
(0，1)，(14/9，+∞);
单减区间为:(-∞，0)，(1，14/9)。

追问

错了