Question

一道没有头绪的数学几何题，求解题过程，谢谢了

在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC
(1)如上端图，P、E、F分别为BC、AC、BD的中点，试说明：AB=PE+PF.
(2)若P为BC任意一点（非中点）PE∥AB,PF∥DC如下端图，是证明或否定AB=PE+PF
AB=CD
AB≠BC

Answer 1

（1）
因为P、E为△ABC中BC、AC的中点
所以AB=1/2PE
因为P、F为△BCD中BC、BD的中点
所以CD=1/2PF
又因为AB=CD
所以PE=PF
所以AB=PE+PF
（2）
设BP=a，BC=b
因为PF∥DC，
所以△BPF相似于△BCD，
所以BP/BC=PF/CD，即a/b=PF/CD，
PF=CD*a/b。
同理PE∥BA，
所以△CPE相似于△CBA，
所以CP/CB=PE/BA，即(b-a)/b=PE/BA，
PE=BA*(b-a)/b。
因为AB=CD，
所以PE+PF=AB*(b-a)/b+AB*a/b=AB
所以无论P为BC上哪一点，AB=PE+PF。

Answer 2

(1)　依题意，由中位线定理得PE=1/2AB，PF=1/2CD=1/2AB
∴PE+PF=1/2AB+1/2AB=AB
(2)　证明：∵PE∥AB　∴PE：AB＝CP：BC　∴PE＝CP*AB/BC
∵PF∥CD　∴PF：CD＝BP：BC　∴PF＝BP*CD/BC=BP*AB/BC
∴PE+PF＝CP*AB/BC+BP*AB/BC=(CP+BP)*AB/BC=BC*AB/BC=AB
即AB=PE+PF

Answer 3

(1)PE,PF为三角形ABC,BDC中位线，
PE=1/2AB,PF=1/2CD
AB=CD
AB=PE+PF
(2)三角形ABC相似三角形EPC,BCD相似BPF
PE/AB=PC/BC,PF/CD=BP/BC
两式相加，得
AB=PE+PF

Answer 4

(1)PE=0.5AB,假设题设成立，则PF=0.5AB，又因为PF∥CD，PF=0.5CD，所以需要AB=CD，题设条件不足
（2）设PC/BC=t,PE/AB=t,则PE=tAB
PF /CD=BP/BC=(BC-PC)/BC=1-PC/BC=1-t,所以PF=(1-t)CD,
PF+PE=tAB+(1-t)CD
同样，若题设成立则需要AB=CD，题设条件不足

追问

AB=CD
AB≠BC

追答

两个结论成立，将AB=CD带入上式中PF+PE=tAB+(1-t)CD=tAB+(1-t)AB=AB,

Answer 5

你给个问题不对吧！梯形边怎么和底相等？？ FP是CD中点所以FP=1/2CD，同理EP=1/2AB，又因为AB=CD，所有PE+PF=1/2AB+1/2CD=AB