Question

数学题证明求教， 证明：

Answer 1

又帮你做又帮你拍分不给我就对不起我了

追问

定积分可不能拆开积分了

Answer 2

请参照

Answer 3

可以作差证明在0~1内cosx>sinx恒成立的，因此得此答案啦！

追问

这可不是恒成立

Answer 4

让左边为f1(x)右边为f2(x)
在0到pi/2>1范围内cosx > sinx ......
所以f1(x)>f2(x)
所以由积分的保号性得到不等式成立。。。。

Answer 5

这道题本身没有问题，不过楼上那些做法都有问题……

本题关键在于用三角换元简化积分表达式。

对于左边积分，设x=sint, dx/√(1-x²)=dt. 且x从0->1等价于t从0->π/2.
左=∫(0->π/2) cos(sint)dt=∫(0->π/2) sin(π/2-sint)dt.

对于右边，设x=cost, dx/√(1-x²)=-dt. 且x从0->1等价于t从π/2->0.
右=∫(0->π/2) sin(cost)dt.

sint+cost≤√2≤π/2, 由sin在[0,π/2]的严格单调性可知sin(π/2-sint)>sin(cost).
由积分的保号性，左>右。

Answer 6

只需要证明在[0,1]上有：
cosx/√(1-x^2)>=sinx/√(1-x^2)即可。

不等式变形得到：
cosx-sinx>=√(1-x^2)
不等式左边y1=cosx-sinx=-√2sin(x-π/4),在区间[0,1]上，有：
-√2sin(1-π/4)<=y1<=1.
不等式右边y2=√(1-x^2),在区间[0,1]上，单调递减。
所以：0<=y2<=1.
所以： cosx-sinx>=√(1-x^2)在[0,1]区间上，不恒成立，故本题证明题原题有误。