Question

已知f(x)是定义在R上的奇函数,且函数f(x)在[0,1)上单调递减,并满足f(2-x)=f(x),若

已知f(x)是定义在R上的奇函数，且函数f(x)在[0,1)上单调递减，并满足f(2-x)=f(x),若方程f(x)=-1在[0,1)上有实数根，求该方称在区间[-1,3]上所有实数之根之和。

Answer 1

f(x)是定义在R上的奇函数,图像关于原点对称，
,且函数f(x)在[0,1)上单调递减，则f(x)在[-1,1)上单调递减，
f(2-x)=f(x)则f(x)图像关于直线x=1对称（2-x与x对应的函数值相等，不论x为何值，x+(2-x)=2，
[x+(2-x)]/2=1,
函数f(x)在[-1,1)上单调递减，则函数f(x)在[1,3]上单调递增，
f(x)=-1在[0,1)上有实数根，直线y=-1与f(x)图在[0,1)上有一个交点，在[-11)和[1,3]上各有有一个交点，直线y=-1与f(x)图在[-,3]上共有2个交点，且这两个交点关于直线x=1对称，交点横坐标之和=2，即f(x)=-1在区间[-1,3]上所有实数之根之和=2。