Question

已知a、b、c都是实数，求证：a^2+ b^2+c^2≥{ (a+b+c)^2}/3

Answer 1

(a+b+c)^2
=a^2+ b^2+c^2+2ab+2bc+2ac
=3(a^2+ b^2+c^2)-(a^2+ b^2+c^2)+2ab+2bc+2ac
=3(a^2+ b^2+c^2)-(a-b)^2-(b-c)^2-(a-c)^2
由于(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2≥0
所以3(a^2+ b^2+c^2)≥(a+b+c)^2
a^2+ b^2+c^2≥{ (a+b+c)^2}/3

Answer 2

3(a^2+ b^2+c^2)-(a+b+c)^2
=3a^2+ 3b^2+3c^2-(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)
=2a^2+ 2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca
=(a^2+b^2-2ab)+(b^2+c^2-2bc)+(c^2+a^2-2ca)
=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2
≥0
所以a^2+ b^2+c^2≥{ (a+b+c)^2}/3

Answer 3

证明：由柯西不等式可得：(1+1+1)(a²+b²+c²)≥(a+b+c)².整理就是：a²+b²+c²≥(a+b+c)²/3.

Answer 4

因为2(a^2+ b^2+c^2)-2(ab+bc+ac)=(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2≥0
所以a^2+ b^2+c^2≥ab+bc+ac
所以3(a^2+ b^2+c^2)≥a^2+ b^2+c^2+2(ab+bc+ac)
即3(a^2+ b^2+c^2)≥(a+b+c)^2
所以a^2+ b^2+c^2≥{ (a+b+c)^2}/3

Answer 5

3(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)^2
=(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac)
=[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]
≥0
3(a^2+b^2+c^2)≥(a+b+c)^2
(a^2+b^2+c^2)≥1/3*(a+b+c)^2
（a+b+c)的平方-3(ab+bc+ca)
=(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
=[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]/2
≥0
（a+b+c)的平方≥3(ab+bc+ca)
1/3*（a+b+c)的平方≥(ab+bc+ca)
所以，
a的平方+b的平方+c的平方大于等于1/3（a+b+c)的平方大于等于ab+bc+ca