Question

如图,已知:点p为线段AB上任意一点（不与A、B重合),分别以AP,BP为边做正三角形APD和正三角形BPC

如图,已知:点p为线段AB上任意一点（不与A、B重合),分别以AP,BP为边做正三角形APD和正三角形BPC，点E、F、G、H分别为AD、AB、BC、CD的中点。
（1）求证：EF=FG=GH=HE
（2）若AB=10，BP=x，四边形EFGH的周长为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围
（3）在（2）的条件下，请你直接写出四边形EFGH的面积的最小值。

Answer 1

解：
（1）连接AC,BD
因为H,G为CD，BC中点，E,F为AD,AB中点
所以HG为三角形BCD中位线，EF为三角形ABD中位线
所以EF=1/2BD,HG=1/2BD,所以EF=HG=1/2BD
同理可证EH=FH=1/2AC
令BP=X,AP=Z，则
BD^2=(√3/2Z)^2+(X+Z/2)^2=X^2+Z^2+XZ
AC^2=(√3/2X)^2+(Z+X/2)^2=X^2+Z^2+XZ
所以AC=BD
所以EF=FG=GH=HE
(2)由（1）知，Y=4EF=4*1/2AC=2AC=2√(X^2+YZ2+XZ),此处Z=10-X
代入后Y=2√[(X-5)^2+75],X取值范围为0<X<10
(3)当X=5时，Y取最小值，Y最小值为10√3.
备注：（请问楼主这题的最后一问怎么是面积，但第二问给的是计算是周长，按理说前后应该一致，是写错了还是题目就是这样？我在第三问给出的是周长最小值）

追问

是面积，因为四边形EFGH的面积等于四边形ABCD的一半，通过求四边形ABCD的面积来求四边形EFGH的面积

追答

E,H为AD.AC中点，EH为△ACD中位线，
所以S(△EDH)=1/4S(△ACD),同理S(△BFG)=1/4S(△ABC),S(△AEF)=1/4S(△ABD),S(△CHG)=1/4S(△BCD),
上述4式相加
则：S(△BFG)+S(△EDH)+S(△AEF)+S(△CHG)=1/4[S(△ACD+S(△ABC)+S(△ABD)+S(△BCD)]=1/2S(ABCD)所以
四边形EFGH面积S(EFGH)=1/2S(ABCD)
过D作PC的垂线与PC交与L点，∠DPC=180-60-60=60°
LD=PD*sin∠DPC=（10-X）√3/2
S(△CPD)=1/2*PC*LD=√3/4*X*(10-X)
S(△APD)=√3/4(10-X)^2
S(△BPC)=)=√3/4*X^2
S(ABCD)=S(△CPD)+S(△APD)+S(△BPC)=)=√3/4(X^2-10X+100)=√3/4[(X-5)^2+75]
当X=5时，取最小值，为15/4
EFGH面积最小值为其一半，等于15/8.

这下可是相当详细了！！

Answer 2

图在哪儿