Question

可以给我讲一下换元法的具体应用吧

Answer 1

换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。 　　换元的种类有：等参量换元、非等量换元
（一） 代数换元法
例 解方程 —=1
解 ：令=t ( t0 )
则=1+t
于是有：

(1)-(2) 得：t = 2 代入（2）得：
2x2-3x-2 = 0 解之得：x1 = 2, x2 = -
经检验知：x1 = 2和 x2 = -均为原方程的解。
例2 求证： （ ）
证明：令 y = 则：x2+2 = y2+1
从而原式 =
所以
小结：例1小结：通过换元避免了常规解法中两次平方的复杂运算，使问题更加容易解决。此曰：代数换元法。例2通过换元使问题更加明朗。再用均值证明不等式。
例3求函数y = sinxcosx + sinx + cosx的值域
解： 令 t = sinx + cosx = sin(x+)
则 t[]
而 sinxcosx = [(sinx+cosx)2-1] =(t2-1)
所以y =(t2-1)+t =(t+1)2-1
当t = -1时，ymin = -1
当t =时, ymax =+
故函数的值域为 [-1，+] 。

（二）常量换元法
例4 已知f(x) = 2x5+3x3-x2-4x+12, 求f(1-)的值。
解：设1-= x 则x2+2x-1 = 0
∵ 2x5+3x3-x2-4x+12 = (2x3-4x2+13x-31)(x2+2x-1)+
71x-19
= 71x-19
∴ f(1-) = 71(1-)-19
= 52-71
小结：利用常量换元法构造零因子，使计算量大大减小。充分体现常量换元法在解题中的精妙作用。
问题推广：
例5已知f(x-3) = 2x2+5x-6, 求f(x)的解析式。
解：令x-3 = t 则x = t+3
把x = t+3代入f(x-3) = 2x2+5x-6 得：
f(t) = 2(t+3)2+5(t+3)-6
= 2t2+17t+27
所以 f(x) = 2x2+17t+27
小结：常量换元法是求函数解析式的常见方法。

（三）比例换元法
例6 若== 求证：
sin2(α-β)+ sin2(β-γ)+ sin2(γ-α)=0
证明: 设===
则x=Rtan(θ+α) y=Rtan(θ+β) z=Rtan(θ+γ)
sin2(α-β)= 〔cos2(θ+β)-cos2(θ+α)〕
sin2(β-γ)= 〔cos2(θ+γ)-cos2(θ+β)〕
sin2(γ-α)= 〔cos2(θ+α)-cos2(θ+γ)〕
将上述三式相加得：
sin2(α-β)+ sin2(β-γ)+ sin2(γ-α)=0
小结：注意题型结构特点，类似比例式子，利用适当换元，通过三角运算，使问题化繁为简，更容易解决。

（四）标准量换元法
例7设a1，a2 ，a3，…，a2004均为实数，
若a1+a2+a3+…+a2004=2004 …… (1)
…… (2)
求证：=2004
证明：令a1=1+m1, a2=1+m2, a3=1+m3 , …，a2004=1+m2004
由（1）式可得：
m1+m2+m3+…+m2004=0 …… (3)
由（2）式可得
(1+m1)2+(1+m2)2+(1+m3)2+…+(1+m2004)2=2004
将其展开并将（3）代入，化简得：
=0
故:
m1=m2=m3=m2004=0
即:
a1=a2=a3=…=a2004=1
所以：

小结：例中选“1”作为“标准量”，把a1，a2 ，a3 …a2004都用“1”和辅助量m1,m2,m3, …,m2004表示。此种方法为“标准量换元法”。

（五）三角换元法
例8（1）以知x>0,y>0,且，求x+y的最小值
（2）解不等式：
解：（1）设=cos2θ, sin2θ （0<θ<）
则x+y=
=10+tan2θ+9cot2θ≥10+2 tanθ3cotθ=16
故：
当tanθ=3cotθ 即，此时 x=4 , y=12
（x+y）min=16
(2) 令x=2sinθ (-)
则不等式化为：2cosθ≥2sinθ
解之得：-
从而-2≤2 sinθ≤1 即 -2≤x≤1
说明：若变量x的取值范围可转化为：-1≤x≤1或-1<x<1，充分利用，则相关题目中的变量x都可以用三角换元法。
例9 已知 : 1 ≤ x2+y2 ≤ 2
求证 : ≤ x2-xy+y2 ≤ 3
证明: ∵ 1 ≤ x2+y2 ≤ 2 可设x = rcosθ , y = rsinθ
其中 , 0 ≤θ ≤2
∴ x2-xy+y2 = r2-r2 sinθcosθ = r2(1-sin2θ)
∵ ≤ 1- sin2θ ≤
∵ r2 ≤ r2(1-sin2θ) ≤ r2
而 r2 ≥, r2 ≤3
∴ ≤ x2-xy+y2 ≤ 3
小结：1.对于一些不等式通过适当的三角换元，把问题更加明显化。
2.凡条件为x2+y2 = 1 或x2+y2 ≤ r2 或 等均可以运用三角换元法。但要注意换元后r、θ的限制条件，如比例9中r的范围。
问题的推广：
例10 在△ABC中，a、b、c 分别是角A、B、C的对边。若c2=a2+b2 则△ABC是直角三角形。现在请你研究：若an+bn=cn ( n>2且n∈N ) 则△ABC为何三角形？为什么？
解：∵an+bn=cn 故：令an=cncos2 θ bn=cn sin2θ (0<θ<)
从而：a2=c2 b2=c2
∴a2+b2= c2 (+)>c2()=c2
由cosθ=>0 即 ∠C为锐角，又c为最大边
故：△ABC为锐角三角形。

（六）增量换元法
例11 求证：对任意实数a>1, b>1 有不等式
证明:设a=1+x , b=1+y , x, y∈R 则
=
当且仅当 x= y =1 即a = b =2时取等号
此题解法为增量换元法。所谓增量换元法就是用相关变量x代换m+t，其中m为恰当的常数，因此严格地说起来，未必一定是增量；另外从本质上讲这种代换仍然是线性的，这样像上面例11中的1-2y=t的基本代换也是线性代换或增量代换。又如：
例12求函数f(x)=+的最大值和最小值。
解：由
解得 4≤x≤5,即函数的定义域是：4≤x≤5，
所以 x是4与5之间的一个变化的量。
因此 可设 x = 4+sin2θ (0≤θ≤) , 则
f(x) = sinθ+cosθ = 2sin(θ+)
当θ =时，f(x)取得最大值2；
当θ =时，f(x) 取得最小值1
小结：此例既是三角换元法，又属增量换元法。通过换元后转化为三角知识使问题得到了巧妙的解决。

问题的推广：
例13 已知实数a1,a2,a3, …,a8满足a1+a2+a3+…+a8=20，
a1a2a3…a8=12
求证：a1,a2,a3, …,a8中至少有一个小于1。
证明： (反证法)
设a1,a2,a3, …,a8 中没有一个小于1。
令 a1=1+t1,a2=1+t2, a3=1+t3 , … , a8=1+ t8 ,
t1 ,t2 ,t3 , … , t8≥0
且 t1 +t2 +t3 + … + t8= a1+a2+a3+…+a8-8=12
a1*a2*a3*…* a8=(1+t1)(1+t2)(1+t3)…(1+ t8)
=1+( t1 +t2 +t3 + … + t8)+ …≥13
这与以知a1a2a3…a8=12 相矛盾。

（七）参数换元法
例14 已知x2+4y2+8x4+7=0,求x2+y2的最小值且求相应的x、y的值。
解：由x2+4y2+8x4+7=0,得：（x+4）2+4y2=9
再变形为：

设 （θ为参数 0≤θ≤2π）
则：
x2+y2=16-24cos

因为：cosθ＜
所以：当cosθ = 1时，（x2+y2）min= 1, 此时x = -1 y = 0
当cosθ = -1时，（x2+y2）max= 49 , 此时x = -7 y = 0
小结：对于条件是圆锥曲线所对应二元二次方程，同时求两个变量x、y的结构式F(x，y)的最值都可以用参数换元法去解决。

（八）参变量换元法
例15 计算
解：设z = 则 z17=-1 z34 =1

同理：

原式=
=
=
例16 计算 的值
解：令x=＞0 -------(1)
对（1）两边平方得：
x2==
再解方程2x2+5x-3=0,并取正根得：
x=,即得解。
例17 已知椭圆 = 1，定点A(1,1),若过点A的弦PQ所在
直线的方程。
解： ∵ 点A(1,1)是弦PQ的中点，
故 可设P (1-m,1-n), Q (1+m,1+n)
∵ 点P、Q在椭圆 = 1上，
∴

(1)-(2) 得 -4m - 16n = 0

y

p
即

A

·
x

Q

o
∴直线PQ的斜率为

kPQ = -,
故PQ所在直线的方程为：
y-1 = -(x-1) ,
即： x+4y-5 = 0
小结：利用设变量解题，也是换元思想的应用。此题增设未知量，将线段端点坐标与中点坐标之间的关系巧妙地结合起来，使问题思路清晰，过程简单，是换元思想的最佳情界。
（九）多元换元法
例18若a+b+c=1,求证：a2+b2+c2≥
证明：令a=+α b=+β c=+γ
则有：α+β+γ=0
又 a2+b2+c2=（+α）2 +（+β）2 +（+γ）2
= +2（α+β+γ）+（α2+β2+γ2）≥
例19已知
求证：
证明：令
则题设变为：

由（2）得：
由（1）得：（）2 =1
即：
∴
即：
小结：由于事物的质和量是有多种因素决定的，如改变其中每一因素就可能产生新的思路，在求解数学问题中，使用的“多元换元法”解题，可以使问题化繁为简，更容易坚决。
综上所述，换元思想方法在数学解题中有着不可低估的作用。总结解题的规律和技巧，强化思维训练，对提高学生分析问题、解决问题的能力将是十分有益。也能全面提高学生素质，培养和提高学生创造能力。因此，我们更有必要对数学方法进行再认识，全面提高教学质量。