Question

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)与直线x+y-1=0与交于两点A，B，椭圆的离心率为e,

(1)当椭圆的半焦距c=1且a^2,b^2,c^2成等差数列时
，求AB的长度及AB中点的坐标
(2)当{（根号3/3）小于等于e小于等于（根号2/2）},且向量OA*向量OB=0(O为坐标原点）时，求椭圆长轴长的取值范围。
请详细的回答，，
原体改一下（已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)与直线x+y-1=0相交于两点A，B，）

Answer 1

(1)c^2=a^2-b^2=1,a^2+c^2=2b^2,得到b^2=2,a^2=3,代入椭圆方程2x^2+3y^2=6
将y=1-x代入,得到5x^2-6x-3=0,x1+x2=6/5,x1*x2=-3/5,
同理可得5y^2-4y-4=0,y1+y2=4/5,y1*y2=-4/5,
IABI^2=(x2-x1)^2+(y2-y1)^2=(x2+x1)^2+(y2+y1)^2-4x1x2-4y1y2
=36/25+16/25+12/5+16/5
=192/25,
IABI=8√(3)/5,
AB中点坐标(3/5,2/5)
(2)(bx)^2+(ay)^2=(ab)^2
将y=1-x代入,得到(a^2+b^2)x^2-2a^2x+a^2-(ab)^2=0,
x1*x2=a^2(1-b^2)/(a^2+b^2),
同理可得
y1*y2=b^2(1-a^2)/(a^2+b^2)
向量OA*向量OB=0,
x1*x2+y1*y2=0,
a^2+b^2-2(ab)^2=0
b^2=a^2/(2a^2-1)
又e^2=(a^2-b^2)/a^2
1/3<(a^2-b^2)/a^2<1/2
a^2/2<b^2<2a^2/3
即a^2/2<a^2/(2a^2-1)<2a^2/3,
1/2<1/(2a^2-1)<2/3,
√5<2a<√6

Answer 2

(1)椭圆a^2=b^2+c^2①
a^2,b^2,c^2成等差数列,2b^2=a^2+c^2②
c=1③
由①②③解得:b^2=2,a^2=3，椭圆x^2/3+y^2/2=1
直线x+y-1=0代入椭圆，得到关于x的一元二次方程，
由韦达定理x1+x2=……，x1x2=……,且y1+y2=- (x1+x2)+2=……
AB的中点M（(x1+x2)/2,(y1+y2)/2）
AB=√(1+k^2)|x1-x2|=√2*√[(x1+x2)^2-4x1x2]=……
(2)向量OA*OB=x1x2+y1y2=0④
直线x+y-1=0代入椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1，
得到关于x的一元二次方程﹙a^2+b^2﹚x^2-2a^2x+a^2-a^2b^2=0
x1+x2=2a^2/﹙a^2+b^2﹚, x1x2=﹙a^2-a^2b^2﹚/﹙a^2+b^2﹚,
y1y2=(1-x1)(1-x2)=1-(x1+x2)+x1x2=（a^2-a^4）/(a^2+b^2)
代入④中，其中b^2=a^2-c^2
整理得到2a^4=2a^2+c^2,两边同除以a^2,
得到2a^2=2+e^2
∵√3/3≤e≤√2/2,1/3≤e^2≤1/2
得到a^2的取值范围，进而得到a及长轴长2a的范围。

Answer 3

我晕 你把数学题目发上来至少也要给个图吧 真是的 这个杂解决呢

追问

惊，这个题本来就没图啊？

追答

丫 我的数学那么好 应该读的懂啊 可是我杂看不懂呢

Answer 4

解题步骤：（1）根据a^2,b^2,c^2成等差数列，且c=1,求出椭圆方程，在把直线方程与椭圆方程联立
求得A、B两点坐标。 （2）直接把x^2/a^2+y^2/b^2=1和直线x+y-1=0联立，求得用字母表示的A、B两点的左边，向量OA*向量OB=0，得到OA垂直于OB,得到坐标x1x2+y1y2=0, 在把c^2=a^2-b^2带入化简成含有a的式子，因为（根号3/3）小于等于e小于等于（根号2/2），所以得到答案。
这个题目是基础题，就是考察椭圆的基础知识，也要用到化简和变换！