Question

在四边形ABCD中，角ABC=角ADC=90°，对角线AC,BD交与点P.且AB=BD,AP=4PC=4，求角ACB的余弦值？

在四边形ABCD中，角ABC=角ADC=90°，对角线AC,BD交与点P.且AB=BD,AP=4PC=4，求角ACB的余弦值？

Answer 1

解:作BE⊥AD于E,交AC于O,则BE//CD。
由AB=BD得E是AD的中点,因此OE是△ACD的一条中位线,从而O是AC的中点。
以O为圆心,OA为半径作圆,则由∠ABC=∠ADC=90°可知该圆经过A、B、C、D四点。易知
AP=4,PC=1,AC=AP+PC=5.
因此
OA=OC=AC/2=2.5
OP=OC-PC=1.5
由BE//CD得
BP/PD=OP/PC=1.5
因此BP=1.5PD,从而
AB=BD=BP+PD=2.5PD.
由相交弦定理得
BP•PD=AP•PC=4
即
1.5PD2=4
因此
PD2=8/3
从而
AB2=(2.5PD) 2=6.25PD2=50/3
由勾股定理得
BC2=AC2-AB2=52-50/3=25/3
因此
BC=5根号3 /3
从而
cos∠ACB=BC/AC= 根号3/3.

Answer 2

由AB=BD得E是AD的中点,因此OE是△ACD的一条中位线,从而O是AC的中点。
以O为圆心,OA为半径作圆,则由∠ABC=∠ADC=90°可知该圆经过A、B、C、D四点。易知
AP=4,PC=1,AC=AP+PC=5.
因此
OA=OC=AC/2=2.5
OP=OC-PC=1.5
由BE//CD得
BP/PD=OP/PC=1.5
因此BP=1.5PD,从而
AB=BD=BP+PD=2.5PD.
由相交弦定理得
BP•PD=AP•PC=4
即
1.5PD2=4
因此
PD2=8/3
从而
AB2=(2.5PD) 2=6.25PD2=50/3
由勾股定理得
BC2=AC2-AB2=52-50/3=25/3
因此
BC=5根号3 /3
从而
cos∠ACB=BC/AC= 根号3/3.