Question

已知数列{an}中，a1,a2,a3,a4…an…构成一个新数列：a1,(a2-a1),(a3-a2)…（an-an-1)…，

新数列首项为1，公比为1/3的等比数列
这个数列{an}的通项公式是？
前n项和Sn?
老师说要用到叠代的方法 请写下具体过程 谢谢

Answer 1

a(1)=1=b(1),
b(n+1)=a(n+1)-a(n),
a(n+1)=b(n+1)+b(n)+...+b(2)+b(1)=[1-1/3^(n+1)]/[1-1/3]=(3/2)[1-1/3^(n+1)]
a(n)=(3/2)[1-1/3^n]
s(n)=a(1)+a(2)+...+a(n)=3n/2 - (3/2)[1/3 + 1/3^2 + ... + 1/3^n]
=3n/2 - (1/2)[1+1/3+...+1/3^(n-1)]
=3n/2-(1/2)[1-1/3^n]/(1-1/3)
=3n/2-(3/4)[1-1/3^n]
=3n/2-3/4+(1/4)/3^(n-1)

Answer 2

a(1)=1=b(1),
b(n+1)=a(n+1)-a(n),
a(n+1)=b(n+1)+b(n)+...+b(2)+b(1)=[1-1/3^(n+1)]/[1-1/3]=(3/2)[1-1/3^(n+1)]
a(n)=(3/2)[1-1/3^n]
s(n)=a(1)+a(2)+...+a(n)=3n/2 - (3/2)[1/3 + 1/3^2 + ... + 1/3^n]
=3n/2 - (1/2)[1+1/3+...+1/3^(n-1)]
=3n/2-(1/2)[1-1/3^n]/(1-1/3)
=3n/2-(3/4)[1-1/3^n]
=3n/2-3/4+(1/4)/3^(n-1)

Answer 3

由题意可知 an-(an-i)=(1/3)n-1x(a1) .......a2-a1=1/3 a1=1
用到叠代的方法 得到an-an-1+an-1-an-2+.........a2-a1+a1=3/2[1-1/3(n-1)]=an

Answer 4

通项公式为an=a1*q^(n-1)=1*(1/3)^(n-1),即是1乘与三分一的(n-1)次方，
前n项和Sn为Sn=a1*[1-q^(n-1)]/(1-q)=1*[1-(1/3)^(n-1)]/(2/3),即是1减去三分一的n-1次方后除以三分二。
希望你能看懂