Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD；AB=9,CD=3,AD=BC=5,DE⊥AB于点E

如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD；AB=9,CD=3,AD=BC=5,DE⊥AB于点E，动点M从点A出发沿线段AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动；动点N同时从点B出发沿线段BC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动。设运动的时间为t秒（0＜t＜9/2）

（1）DE的长为________

（2）当MN//AD时，求t的值

（3）试探究：t为何值时，△MNB为等腰三角形

Answer 1

（1）由等腰梯形可以得出AE的长度为AB减去CD的一半，根据勾股定理可以得出DE的长度．
（2）连接EC，可以得出AD∥CE，即CE∥MN，得出△BMN∽△BEC，根据对应线段的比例关系可以得出答案．
（3）要使△MNB为等腰三角形应分三种情况讨论：①当NM=NB时、②当BM=BN时、③当MN=MB时三种情况下t的值即可．解答：解：（1）∵四边形ABCD是等腰梯形，DE⊥AB于点E，AB∥CD，
∴AE= （AB-CD）=3，
在Rt△AED中，由勾股定理可得：
∴DE= = =4，

（2）由（1）可得AE=3=CD，连接CE，如右图所示：
∵AE∥DC且AE=DC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AD=CE且AD∥CE
又∵MN∥AD，
∴MN∥CE
∴△BMN∽△BEC，
∴ = ，
t秒后，BM=AB-2t=9-2t，BN=t，BE=6，BC=5
即： = ，t= ．
所以，t的值为 秒．

（3）在△MNB中，BM=AB-2t=9-2t，BN=t，
①当NM=NB时，MN∥CE，
此时，由（1）知t的值为 秒；
②当BM=BN时，9-2t=t，t=3，
此时，t的值为3秒．
③当MN=MB时，过点M作MH⊥BC于H，过点C作CG⊥AB于G，如右图所示：
∵∠B=∠B，∠MHB=∠CGB
∴△BMH∽△BCG
∴ = ，即： = ，t= ，
所以，此时t的值为： ．
所以，当t= 秒，t=3秒，t= 秒时，△MNB为等腰三角形．

Answer 2

解：（1）∵四边形ABCD是等腰梯形，DE⊥AB于点E，AB∥CD，

∴AE= （AB-CD）=3，

在Rt△AED中，由勾股定理可得：

∴DE= = =4，

（2）由（1）可得AE=3=CD，连接CE，如右图所示：

∵AE∥DC且AE=DC，

∴四边形AECD是平行四边形，

∴AD=CE且AD∥CE

又∵MN∥AD，

∴MN∥CE

∴△BMN∽△BEC，

∴ = ，

t秒后，BM=AB-2t=9-2t，BN=t，BE=6，BC=5

即： = ，t= ．

所以，t的值为 秒．

（3）在△MNB中，BM=AB-2t=9-2t，BN=t，

①当NM=NB时，MN∥CE，

此时，由（1）知t的值为 秒；

②当BM=BN时，9-2t=t，t=3，

此时，t的值为3秒．

③当MN=MB时，过点M作MH⊥BC于H，过点C作CG⊥AB于G，如右图所示：

∵∠B=∠B，∠MHB=∠CGB

∴△BMH∽△BCG

∴ = ，即： = ，t= ，

所以，此时t的值为： ．

所以，当t= 秒，t=3秒，t= 秒时，△MNB为等腰三角形．

Answer 3

DE=4，

（2）由（1）可得AE=3=CD，连接CE
∵AE∥DC且AE=DC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AD=CE且AD∥CE
又∵MN∥AD，
∴MN∥CE
∴△BMN∽△BEC，
t秒后，BM=AB-2t=9-2t，BN=t，BE=6，BC=5
即：t= ．2.8125
所以，t的值为 2.8125 秒．

（3）在△MNB中，BM=AB-2t=9-2t，BN=t，
①当NM=NB时，MN∥CE，
此时，由（1）知t的值为2.8125 秒；
②当BM=BN时，9-2t=t，t=3，
此时，t的值为3秒．
③当MN=MB时，过点M作MH⊥BC于H，过点C作CG⊥AB于G：
∵∠B=∠B，∠MHB=∠CGB
∴△BMH∽△BCG
∴ 即： t= 85分之270，
所以，此时t的值为：85分之270．
所以，当t=2.8125 秒，t=3秒，t= 85分之270秒时，△MNB为等腰三角形．

Answer 4

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