Question

已知函数f(x)=2^x-2^(-x),数列{an}满足f[log2(an)]=-2n.

已经求出an=根号(n^2+1)-n
通过公式bn=(an)+n 构造一个新数列{bn},求证:数列 {(bn)/n}是递减数列.

Answer 1

f(x)=2^x-2^(-x)=an-1/an=-2n
an^2+2nan-1=0
an=[-2n+√4n^2+4]/2=√(n^2+1)-n (负数不和题意舍去）
bn=(an)+n=√(n^2+1)
(bn)/n=√(n^2+1)/n=√(1+1/n^2)
(bn)/n-(bn-1)/(n-1)＜0
{(bn)/n}是递减数列

Answer 2

bn/n=根号（n²+1）/n=根号[（n²+1）/n²]
因为（n²+1）/n²=1+1/n² 是递减数列
又因为 根号（x）是递增数列
所以bn/n是递减数列