Question

已知a>0，b>0.求证（a^2/b）^1/2+(b^2/a)^1/2>=a^1/2+b^1/2.

高中数学选修4-5习题1-2，第12题。

Answer 1

方法一：
不失一般性地设a≥b＞0，得：√a≥√b＞0，∴（a－b）（√a－√b）≥0，
∴√（a^3）－a√b－b√a＋√（b^3）≥0，∴√（a^3）＋√（b^3）≥a√b＋b√a
两边同除以√（ab），得√（a^2/b）＋√（b^2/a）≥√a＋√b。

当b≥a＞0时，也同理可证。（将上面的a、b对调一下就可以了。）

方法二：利用排序不等式
不失一般性地设a≥b＞0，得：√a≥√b＞0，得：a√a＋b√b≥b√a＋a√b，
两边同除以√（ab），得√（a^2/b）＋√（b^2/a）≥√a＋√b。