Question

函数f(x)=sin2x+e^|sinx+cosx|的最大值与最小值

Answer 1

解：换元，可设t=sinx+cosx=(√2)sin[x+(π/4)].∴-√2≤t≤√2.两边平方。t²-1=sin2x.∴原来的函数可化为函数g(t)=(t²-1)+e^|t|.显然该函数是偶函数，故只需讨论在[0,√2]上的极值问题。【1】g(x)=(x²-1)+e^x.(0≤x≤√2).求导可得g'(x)=2x+e^x.易知在[0,√2]上，g'(x)≥1.∴函数g(x)在[0,√2]上递增，∴g(x)min=g(0)=0.g(x)max=g(√2)=1+e^√2.【2】易知，原来的函数f(x), f(x)max=1+e^√2, f(x)min=0.

Answer 2

令h（x）=sin2x，g（x）=|sinx+cosx|=|2sin(x+π4)|，观察可得：
当x=π4时，h（x）和g（x）同时取得最大值分别为1和2，此时，f（x）取得最大值e2+1
当x=-π4时，h（x）和g（x）同时取得最小值分别为-1和e0=1，此时，f（x）取得最小值0