Question

D是△ABC的边BC上的一点,AD是高,有AB+BD=AC+CD,求证:△ABC是等腰三角形

Answer 1

题意不复杂，我就不画图了
证明：已知D是△ABC的边BC上的一点,AD是高
所以AB²-BD²=AC²-CD²=AD²
（AB+BD）（AB-BD）=（AC+CD）（AC-CD）
∵AB+BD=AC+CD
∴AB-BD=AC-CD
两式相加得AB=AC
所以△ABC是等腰三角形得证

Answer 2

对等式两边同时平方，得
AB^2+2AB.BD+BD^2=AC^2+2AC.CD+CD^2
又因为AB^2=AD^2+BD^2,勾股定理；同理，AC^2=AD^2+CD^2;
将这两个式子带入第一个式子，得到
AD^2+2BD^2+2AB.BD=AD^2+2CD^2+2AC.CD
合并同类项，得BD(BD+AB)=CD(CD+AC)
所以
BD=CD
也就是AB=AC
证毕

Answer 3

因为ab+bd=ac+cd
又因为ad是高，ad垂直于bc
所以ab=ac；bd=dc
所以三角形abc是等腰三角形

Answer 4

由直角三角形定义可知：AD^2=AB^2-BD^2=AC^2-CD^2
即(AB-BD)(AB+BD)=(AC+CD)(AC-CD)
因为AB+BD=AC+CD——①
所以AB-BD=AC-CD——②
①+②得AB=AC
所以为等腰三角形