Question

证明当x≠0时e^x>1+x恒成立

证明：当x不等于0时，e^x > 1+x 恒成立

写出解题过程

Answer 1

设y＝e^x－x－1，求导数，得：y′＝e^x－1，y′′＝e^x＞0。
令y′＝e^x－1＝0，得：x＝0，即y在x＝0时有极小值，易求出极小值是0。
∵e^x－x－1在x＝0时有极小值为0，∴说明e^x－x－1在x≠0时大于0，
由e^x－x－1＞0，得：e^x＞x＋1
∴e^x＞x＋1在x≠0时恒成立。

Answer 2

令f(x)=e^x-x-1
对f(x)求导得
f`(x)=e^x-1
当x>0时,f`(X)>0
即当x>0时,f(X) 单调增加
当x<0时,f`(x)<0
即当x<0时,f(X)单调减少
所以当x=0时f(x)为最小值,即f(0)=0
所以f(x)=e^x-x-1>=0
故当x≠0时,e^x-x-1即,e^x>1+x
证毕
希望以上解答能够帮到你