Question

一个数学题，希望各位有能力的帮帮小女子吧。特别是第2问，详细点。在线等

已知过点A（-4,0）的动直线L与抛物线C：X平方=2PY（p＞0）相交于B.C两点。当L得斜率是1\2时，向量AC=4向量AB (1)求抛物线G的方程（2）设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围。

Answer 1

解：
（1）
设B（x1，y1），C（x2，y2），
由已知k1=1/2时，l方程为y=1/2（x+4）即x=2y-4．
x^2=2py
X=2y-4得
2y^2-（8+p）y+8=0
∴y1y2=4
y1+y2=(8+p)/2
又∵向量AC＝4向量AB
∴y2=4y
根据以上及p＞0可得：
y1=1，y2=4，p=2，即抛物线方程为：x^2=4y．

（2）设l：y=k（x+4），AB中点坐标为（x0，y0）
由x^2=4y
y=k(x+4)
得x^2-4kx-16k=0
∴ x0=(Xa+XB)/2=2k
y0=k(x0+4)=2k^2+4k
∴AB的中垂线方程为y-2k^2-4k=-(x-2k)/k
∴AB的中垂线在y轴上的截距为：b=2k^2+4k+2=2（k+1）^2
由△=16k^2+64k＞0得：k＞0或k＜-4．
∴b∈（2，+∞）

Answer 2

1
设直线方程为y=1/2*(x+4) 和抛物线联立
则x^2=2p(1/2*(x+4)) →x^2-px-4p=0
Xc+Xb=p（1） Xc*Xb=-4p（2）
向量AC=4向量AB → （Xc+4，Yc）=4（Xb+4，Yb）
Xc=4Xb+12 分别带入（1）（2）
化简得出Xb=-2 Xb=-6 但p>0
所以去Xb=-2 得出p=2
所以抛物线方程为x^2=4y

追问

第二问呢，重点是第二问