Question

如图,AB、BE分别是等边△ABC中BC、AC上的高,M、N分别在AD、BE的延长边上……初一数学几何证明题

6．如图7—118，AD、BE分别是等边△ABC中BC、AC上的高．M、N分别在AD、BE的延长线上，∠CBM＝∠ACN．求证：AM＝BN

Answer 1

证明：
因为AD、BE分别是等边△ABC中BC、AC上的高，
所以∠BDM=∠CEN=90°
所以∠DBM+∠M=90°，∠ACN+∠N=90°
又因为∠CBM=∠ACN
所以∠M=∠N,
因为在等边三角形ABC中，∠ABC=∠ACB,
所以∠ABC+∠CBM=∠ACB+∠ACN
即∠ABM=∠BCN
在△ABM和△BCN中，
∠M=∠N,
∠ABM=∠BCN
AB=BC
所以△≌△(AAS)
所以AM=BN

Answer 2

△ABC为等边三角形，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°,BD=DC=0.5BC=0.5AC=CE=AE,
又AD、BE分别是等边△ABC中BC、AC上的高，所以∠BDM=∠CEN=90°,
又因，∠CBM＝∠ACN，所以△BDM≌△CEN,所以BM=CN,
因为AB=CB,∠ABC+∠CBM=∠BCA+∠ACN 得出∠ABM=∠BCN,
所以△ABM≌△BCN，所以AM=BN

Answer 3

证明：
∵AD⊥BC，BE⊥AC，AB=BC=AC
∴BD=CE
在△BDM与△CEN中,
∠DBM=∠ECN BD=CE ∠BDM=∠CEM
∴△BDM≌△CEN（ASA）
∴DM=EN
在RT△ABD与△BCE中 AB=BC BD=CE
∴RT△ABD≌RT△BCE
∴AD=BE DM＝EN　
∴AM=BN

Answer 4

已知等边△ABC，所以，∠ABC=∠ACB，AB=BC，∠CBN=∠BAM=30°（等边三角形的高即为角平分线，又因为∠BAC=∠CBN=60°）
又因为，∠CBM＝∠ACN，
所以∠CBM+∠ABC＝∠ACN+∠ACB 推得 ∠ABM=∠BCN
根据角边角相等，即两个三角形全等，所以△ABM=△CBN，所以AM=BN

Answer 5

角BCN=角ABN
角CBN=角BAM
BC=AB
三角形CBN全等于ABN
AM=BN

Answer 6

因为∠CBM＝∠ACN
bd=ec
三角形bdm和三角形nec全等，可得en=dm
又因为ad=be
ad+dm=be+en
所以am=bn