Question

求解一道线性代数证明题

设向量组(1)α1,α2,…,αr;向量组(2)β1,β2,…,βr;
其中αi=βi(i=1,2,…,r-1);αr=λβr，λ≠0，
证明：向量组（1）线性无关的充分必要条件是向量组（2）线性无关

Answer 1

常规证法:
(=>)必要性.
设 k1β1+k2β2+…+kr-1βr-1+krβr=0
由已知 αi=βi(i=1,2,…,r-1);αr=λβr，λ≠0，
得: k1α1+k2α2+…+kr-1αr-1+(kr/λ)αr=0
而由 向量组(1)线性无关, 所以 k1=k2=...=kr-1=kr/λ=0
所以 k1=k2=...=kr-1=kr=0
所以向量组(2)线性无关.
(<=) 充分性
设k1α1+k2α2+…+kr-1αr-1+krαr=0
由已知 αi=βi(i=1,2,…,r-1);αr=λβr，λ≠0，
得 k1β1+k2β2+…+kr-1βr-1+krλβr=0
由 向量组(2)线性无关, 所以 k1=k2=...=kr-1=krλ=0
而 λ≠0
所以有 k1=k2=...=kr-1=kr=0
所以 向量组(1)线性无关.

特殊证法:
由αi=βi(i=1,2,…,r-1);αr=λβr，λ≠0，
易知 向量组(1)与向量组(2) 可以互相线性表示.
所以两个向量组等价.
而等价的向量组有相同的秩.
所以 r(α1,α2,…,αr)=r(β1,β2,…,βr).

所以向量组(1)线性无关
<=> r(α1,α2,…,αr)=r
<=> r(β1,β2,…,βr)=r
<=> 向量组(2)线性无关.

Answer 2

1)线性无关，我们考虑一组系数c1,c2,...,cr，使得
c1 β1 + c2 β2 +...+cr βr =0
也就是
c1 α1 + c2 α2 +...+cr λαr =0
由于1)线性无关，因此有c1 = c2 = ,,,=cr λ =0
由于λ≠0，因此可以得到c1 = c2 = ,,,=cr =0
因此2)线性无关

反方向证明是一样的，因此是充要条件

Answer 3

向量组（1）线性无关
<=>不存在不全为0的k,k2,……,k(r)使得k1·α1+k2·α2+……+k(r)·αr = 0
<=>不存在不全为0的k1,k2,……,k(r)使得k1·β1+k2·β2+……+k(r)·λβr = 0，λ≠0
<=>不存在不全为0的k1,k2,……,k(r-1), λk(r)，λ≠0使得k1·β1+k2·β2++……+k(r-1)·β(r-1)+λk(r)·β(r) = 0
<=>向量组（2）线性无关