Question

圆O的直径AB长为10，弦AC长为6，角ACB的平分线交圆O于点D，求CD的长？

本人看了好几个答案，有的表述有误，有的用到余弦定理等，总之，本人才疏学浅没有看明白，敬请大虾给予带有图片的讲解……谢谢了！

Answer 1

首先，本人叙述一个三角形内角平分线的性质定理：三角形的内角平分线内分对边成两条线段，那么这两条线段与这个角的两边对应成比例。假如你这个定理能明白的话这个题O(∩_∩)O~就没有问题了

解：如图，易求得BC=8，∠ADB=90°   AD=BD=5 √2由角平分线的性质可得：AM/MB=AC/CB ，则(10-MB)/MB=6/8 ，解之得：MB= 40/7

∠BCD=∠MAD    ∠D=∠B     所以 △BCM∽△DCA

则： 即CD/CB=AD/BM即CD/8=5√2/(40/7) ，解之得：CD=7 √2

Answer 2

分析：作DF⊥CA，交CA的延长线于点F，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB．由CD平分∠ACB，根据角平分线的性质得出DF=DG，由HL证明△AFD≌△BGD，△CDF≌△CDG，得出CF=7，又△CDF是等腰直角三角形，从而求出CD=7。解：作DF⊥CA，交CA的延长线于点F，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB．

∵CD平分∠ACB，

∴DF=DG，弧AD=弧BD，

∴DA=DB．

∵∠AFD=∠BGD=90°，

∴△AFD≌△BGD，

∴AF=BG．

易证△CDF≌△CDG，

∴CF=CG．

∵AC=6，BC=8，

∴AF=1，

∴CF=7，

∵△CDF是等腰直角三角形，

∴CD=7．

Answer 3

∵AB是直径，∴AC⊥BC，∴BC＝√（AB^2－AC^2）＝√（100－36）＝8。［勾股定理］
令AB与CD相交于E。过C作CF⊥AB交AB于F。
由三角形内角平分线定理，有：AC/BC＝AE/BE，∴6/8＝AE/（10－AE），得：AE＝30/7。
从而有：BE＝10－AE＝40/7。
过C作CF⊥AB交AB于F。则有：CF×AB＝BC×AC，得：CF＝8×6/10＝24/5。
又CF^2＝AF×BF＝AF（AB－AF）＝AF（10－AF）＝（24/5）^2，
∴25AF^2－250AF＋24×24＝0，∴（5AF－32）（5AF－18）＝0，
∵AF＜AC＝6，∴5AF＜30，∴5AF－18=0，得：AF＝18/5。
∴EF＝AE－AF＝30/7－18/5＝24/35。
∴CE^2＝CF^2＋EF^2＝（24/5）^2＋（24/35）^2＝（24/5）^2（1＋1/49）＝2（24/7）^2
∴CE＝24√2/7。
由相交弦定理，有：DE×CE＝AE×BE，
∴DE＝（30/7）×（40/7）/（24√2/7）＝25√2/7。
∴CD＝CE＋DE＝24√2/7＋25√2/7＝7√2。

Answer 4

我来回答吧。首先连接BD，那么 角CDB=角CAB。三角形ACB是直角三角形，所以 角ACB=90度，正弦CAB=4/5。因为 CD为角平分线，所以 角DCB=45度，所以 角DBC=(135-角CDB)，利用正弦定理，(正弦DBC/DC)=(正弦CDB/CD)。就可以求出来了。。。。用手机写的，有些符号输不出来。还满意？？

Answer 5

作DG⊥CA，垂足F在CA的延长线上，作DH⊥CB于点H，连接DA，DB．
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD
∴DG=DH,∠ACD=45度 ∵四边形是内接圆，∴角CAD+角CBD=180度∴角CBD=角GAD，即角DBH=角DAG易证△DGA≌△DHB∴AG=BH，设AF=BG=X，BC=8，AC=6，得8-X=6+X，解X=1
∴CG=6+1=7∵易证△CDF是等腰直角三角形 ∴CD的平方=CG的平方+GD的平方=98∴CD=7√2(纯手工，事实可鉴）