Question

已知椭圆

已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为2分之根3，过右焦点F且斜率为K（K》0）的直线与C交于A，B两点，若AF的向量=3FB的向量。则K是多少？要过程最好，谢谢各位童鞋

Answer 1

解：∵e=√3/2,设椭圆方程为x²/a²+4y²/a²=1....①
设直线方程为y=k(x-c)....②
联立①、②得：(1+4k²)x²-8k²cx+4k²c²-a²=0....③
根据椭圆第二定义
|AF|/(a²/c-xA)=e, |BF|/(a²/c-xB)=e
|AF|=3|BF|,得3xB-xA=2a²/c....④
又由定比分点公式得4c=xA+3xB....⑤
由④、⑤解得xA=2c-a²/c xB=2c/3+a²/3c
∴xA+xB=8c/3-2a²/3c....⑥
又由③可得xA+xB=8k²c/(1+4k²).....⑦
得到k关于e的一元二次方程：（8e²-2)(1+4k²)=24k²e²
e²=3/4，解得k=±√2
又k＞0，∴k=√2