Question

题目 在三角形ABC中，D为BC边上一点，BC等于3BD，AD等于根号2，角ADB等于135度。若AC等于根号2AB，则B

题目 在三角形ABC中，D为BC边上一点，BC等于3BD，AD等于根号2，角ADB等于135度。若AC等于根号2AB，则BD等于多少？

以下是我搜索到的答案 分析过程我都看懂并理解了 就是 （又b=√2c，代入可解得x=2+√5，）这步我不清楚b=√2c是怎么得来的 怎么算？这是第一种解法的疑问

第二种解法的疑问是 ：前面的分析过程我都看懂了，就是这句：因为AC=√2AB
则：(x+1)^2+1=2[(2x-1)^2+1]
这是怎么得到的 不明白？不是应该 √[(2x-1)^2+1]=AC=√2AB=根号2×√[(x+1)^2+1]
之后是把两边平方吗？ 但平方之后我又算不得x^2-4x-1=0
求正解 谢谢 （我知道我既没分 问题又多，不过我相信好人还是有的，助人为乐，行善积德，感谢）

第一种解法
利用余弦定理：对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的两倍积，若三边为a,b,c 三角为A,B,C ，则满足性质：
（1）a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA
（2）b^2=a^2+c^2-2*a*c*CosB
（3）c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC

设AC=b,AB=c,BD=x,DC=2x
对三角形ADC有：
b^2=AD^2+DC^2-2AD*DC*cos(180-135)=2+4x^2-4x√2*cos45=4x^2-4x+2
对三角形ADB有：
c^2=AD^2+BD^2-2AD*BD*cos135=2+x^2-2x√2cos135=x^2+2x+2

又b=√2c，代入可解得x=2+√5

第二种解法：
解：作AE⊥BC于E，角ADB等于135度，AD等于根号2，可知：AE＝DE＝1
设BD＝x，则CD＝2x，BE=x+1,CE=2x-1,
AB=√(BE^2+AE^2)=√[(x+1)^2+1]
AC=√(CE^2+AE^2)=√[(2x-1)^2+1]
AC=√2AB
则：(x+1)^2+1=2[(2x-1)^2+1]
展开化简：x^2-4x-1=0
解得：x=2+√5(负值舍去)

Answer 1

第一种解法：b=√2c是因为已知条件AC等于根号2AB
第二种解法：因为AC=√2AB，所以AC^2=2AB^2,AC^2=
(2x-1)^2+1,AB^2=)=(x+1)^2+1,
则：(x+1)^2+1=2[(2x-1)^2+1]
展开化简：x^2-4x-1=0
解得：x=2+√5(负值舍去)

Answer 2

b=√2c是因为已知条件AC等于根号2AB 因为AC=√2AB，所以AC^2=2AB^2,AC^2=(2x-1)^2+1,AB^2=)=(x+1)^2+1,则：(x+1)^2+1=2[(2x-1)^2+1]展开化简：x^2-4x-1=0
解得：x=2+√5(负值舍去)解：作AE⊥BC于E，角ADB等于135度，AD等于根号2，可知：AE＝DE＝1
设BD＝x，则CD＝2x，BE=x+1,CE=2x-1,
AB=√(BE^2+AE^2)=√[(x+1)^2+1]
AC=√(CE^2+AE^2)=√[(2x-1)^2+1]
AC=√2AB
则：(x+1)^2+1=2[(2x-1)^2+1]
展开化简：x^2-4x-1=0
解得：x=2+√5(负值舍去)

Answer 3

第一种：b=AC,c=AB,AC等于根号2AB
第二种：第二个是对的

Answer 4

题上不是说设AC=b,AB=c,
还有就是AC等于根号2AB也就是说b=根号2c嘛