Question

在三角形ABC中，D为BC边上的一点，BC=3BD,AD=根号2，角ADB=135°，若AC=根号2倍AB,求BD

Answer 1

作AH⊥BC于H,则AH=AD×SIN(180°-135°)=1=DH. 则BH=BD+DH=BD+1，CH=2BD-1 又AB^2-AH^2=AB^2-1=BH^2=(BD+1)^2 ，则AB^2=(BD+1)^2+1 ; 又 AC^2-AH^2=2AB^2-AH^2=2AB^2-1=CH^2=(2BD-1)^2, 则2AB^2=(2BD-1)^2+1; 所以, 2(BD +1)^2+2=(2BD-1)^2+1. 解得: BD=2+√5.

Answer 2

作AH⊥BC于H,则AH=AD×SIN(180°-135°)=1=DH. 则BH=BD+DH=BD+1，CH=2BD-1 又AB^2-AH^2=AB^2-1=BH^2=(BD+1)^2 ，则AB^2=(BD+1)^2+1 ; 又 AC^2-AH^2=2AB^2-AH^2=2AB^2-1=CH^2=(2BD-1)^2, 则2AB^2=(2BD-1)^2+1; 所以, 2(BD +1)^2+2=(2BD-1)^2+1. 解得: BD=2+√5.

Answer 3

何不用解析法做呢？ 以B为（0，0），BC为X轴，设D为（a,0），则C（3a,0)，根据条件∠ADB=135度有A（a+1,1)，又有AC^2=2*AB^2,就是 （(a+1-3a)^2+1^2）=2（(a+1)^2+1^2），a^2-4a-1=0,解之得a=2+根号5

Answer 4

利用馀弦定理，解得BD=根号二减一

追问

答案是 BD=2+√5.